哈尔滨工程大学 2025年高等代数第12题
📝 题目
12．二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X
$$
在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=X^T A X$ 在正交变换 $X=QY$ 下化为标准形 $y_1^2+y_2^2$，即 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(1,1,0)$。正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$。
公式：$Q^T A Q = \operatorname{diag}(1,1,0)$
提示：注意标准形中缺少 $y_3^2$ 项，对应特征值为0。
步骤 2/6
目标：构造正交矩阵 Q
设 $Q=(q_1,q_2,q_3)$，其中 $q_3=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$。由于 $Q$ 正交，$q_1,q_2$ 需与 $q_3$ 正交且单位，且彼此正交。可取 $q_1=(0,1,0)^T$，$q_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$。则 $$Q=\begin{pmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.$$
公式：正交矩阵列向量构成标准正交基
提示：注意 $q_2$ 与 $q_3$ 正交：$q_2^T q_3 = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$。
步骤 3/6
目标：利用对角化反求 A
由 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(1,1,0)$ 得 $A = Q \operatorname{diag}(1,1,0) Q^T$。先计算 $Q \operatorname{diag}(1,1,0) = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{pmatrix}$，再右乘 $Q^T$：$$A = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$
公式：$A = Q \Lambda Q^T$
提示：计算矩阵乘法时注意顺序和符号。
步骤 4/6
目标：写出 A 的表达式
因此实对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。
提示：验证 $A$ 对称。
步骤 5/6
目标：构造 A+E3 并判断正定性
计算 $A+E_3 = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$。计算顺序主子式：一阶 $\frac{3}{2}>0$；二阶 $\begin{vmatrix} \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=3>0$；三阶 $\begin{vmatrix} \frac{3}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \end{vmatrix}=2\left(\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\right)=4>0$。所有顺序主子式大于0，故 $A+E_3$ 正定。
公式：顺序主子式全大于0是实对称矩阵正定的充要条件
提示：计算三阶行列式时，按第二行展开较简便。
步骤 6/6
目标：总结答案
综上，$A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$，且 $A+E_3$ 正定。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。