哈尔滨工程大学 2025年高等代数第13题

给定基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$，它们分别是 $2\times 2$ 矩阵单位。线性变换 $\sigma(X)=AX$，其中 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$。我们需要求 $\sigma$ 在该基下的矩阵，即每个基向量的像用基线性表示后的系数矩阵。

计算 $\sigma(E_{11}) = A E_{11} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} = a E_{11} + 0 E_{12} + c E_{21} + 0 E_{22}$。

$\sigma(E_{12}) = A E_{12} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c \end{pmatrix} = 0 E_{11} + a E_{12} + 0 E_{21} + c E_{22}$。 $\sigma(E_{21}) = A E_{21} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix} = b E_{11} + 0 E_{12} + d E_{21} + 0 E_{22}$。 $\sigma(E_{22}) = A E_{22} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{pmatrix} = 0 E_{11} + b E_{12} + 0 E_{21} + d E_{22}$。

将每个基向量的像的系数按列排列，得到矩阵 $M = \begin{pmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{pmatrix}$。

σ可逆当且仅当M可逆。计算M的行列式：通过重排基的顺序为$E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22}$，M变为分块对角矩阵$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$，其中$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$。因此$\det(M) = (\det(A))^2 = (ad-bc)^2$。当$ad-bc \neq 0$时，$\det(M) \neq 0$，故M可逆，从而σ可逆。

当σ可逆时，$\sigma^{-1}(X) = A^{-1}X$。设$A^{-1} = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。由(1)的结论，$\sigma^{-1}$在基下的矩阵$M'$具有相同形式，只需将a,b,c,d替换为a',b',c',d'：$M' = \begin{pmatrix} a' & 0 & b' & 0 \\ 0 & a' & 0 & b' \\ c' & 0 & d' & 0 \\ 0 & c' & 0 & d' \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & 0 & -b & 0 \\ 0 & d & 0 & -b \\ -c & 0 & a & 0 \\ 0 & -c & 0 & a \end{pmatrix}$。