哈尔滨工程大学 2025年高等代数第14题
📝 题目
14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda & & & \\
1 & \lambda & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda
\end{array}\right)
$$
证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出线性变换在基下的作用
设 $\tau$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$ 下的矩阵为 $A$，即
$$
\tau(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n) = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n) A,
$$
其中 $A$ 是若尔当块
$$
A = \begin{pmatrix}
\lambda & & & \\
1 & \lambda & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda
\end{pmatrix}.
$$
则 $\tau$ 的作用为
$$
\begin{cases}
\tau(\varepsilon_1) = \lambda \varepsilon_1 + \varepsilon_2, \\
\tau(\varepsilon_2) = \lambda \varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
\vdots \\
\tau(\varepsilon_{n-1}) = \lambda \varepsilon_{n-1} + \varepsilon_n, \\
\tau(\varepsilon_n) = \lambda \varepsilon_n.
\end{cases}
$$
公式：\tau(\varepsilon_i) = \lambda \varepsilon_i + \varepsilon_{i+1} \quad (i=1,\dots,n-1), \quad \tau(\varepsilon_n) = \lambda \varepsilon_n
提示：注意下标：$\varepsilon_{n+1}$ 视为0。
步骤 2/6
目标：取非零子空间中的向量并确定其最大下标
设 $W$ 是任意非零 $\tau$-子空间。取非零向量 $\alpha \in W$，将 $\alpha$ 表示为基的线性组合：
$$
\alpha = a_1 \varepsilon_1 + a_2 \varepsilon_2 + \dots + a_n \varepsilon_n,
$$
其中 $a_i \in \mathbb{C}$ 不全为零。令 $k = \max\{ i \mid a_i \neq 0 \}$，即 $\alpha$ 中下标最大的非零系数对应的下标。则
$$
\alpha = a_1 \varepsilon_1 + \dots + a_k \varepsilon_k,\quad a_k \neq 0.
$$
提示：注意 $k$ 的定义：最大下标，且 $a_k \neq 0$。
步骤 3/6
目标：计算 $\tau - \lambda I$ 在基上的作用
考虑 $\tau - \lambda I$ 的作用。由于 $\tau(\varepsilon_i) = \lambda \varepsilon_i + \varepsilon_{i+1}$（约定 $\varepsilon_{n+1}=0$），有
$$
(\tau - \lambda I)(\varepsilon_i) = \varepsilon_{i+1},
$$
即 $\tau - \lambda I$ 将 $\varepsilon_i$ 映射到 $\varepsilon_{i+1}$。
公式：(\tau - \lambda I)(\varepsilon_i) = \varepsilon_{i+1}
提示：注意 $\varepsilon_{n+1}=0$，所以 $\tau - \lambda I$ 将 $\varepsilon_n$ 映射到0。
步骤 4/6
目标：反复应用 $\tau - \lambda I$ 得到 $\varepsilon_n$
对 $\alpha$ 反复应用 $\tau - \lambda I$，共 $n-k$ 次，可得
$$
(\tau - \lambda I)^{n-k}(\alpha) = a_k \varepsilon_n.
$$
因为每次应用 $\tau - \lambda I$ 会将下标增加1，且 $\alpha$ 中下标最大为 $k$，经过 $n-k$ 次后，只有 $a_k \varepsilon_k$ 项变为 $a_k \varepsilon_n$，其他项变为0。
公式：(\tau - \lambda I)^{n-k}(\alpha) = a_k \varepsilon_n
提示：注意 $n-k$ 次后，$\varepsilon_k$ 变为 $\varepsilon_n$，而 $\varepsilon_i$（$i
步骤 5/6
目标：利用子空间性质得出 $\varepsilon_n \in W$
因为 $W$ 是 $\tau$-子空间，所以对任意多项式 $f(\tau)$，有 $f(\tau)(\alpha) \in W$。特别地，$f(\tau) = (\tau - \lambda I)^{n-k}$ 是 $\tau$ 的多项式，故 $(\tau - \lambda I)^{n-k}(\alpha) \in W$，即 $a_k \varepsilon_n \in W$。由于 $a_k \neq 0$，故 $\varepsilon_n \in W$。
提示：注意 $\tau$-子空间对 $\tau$ 的多项式封闭，但需注意 $\tau - \lambda I$ 是 $\tau$ 的多项式。
步骤 6/6
目标：结论
因此，对任意非零 $\tau$-子空间 $W$，均有 $\varepsilon_n \in W$。证毕。
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