哈尔滨工程大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5．已知 3 维欧氏空间中，内积在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的度量矩阵为
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
若 $\displaystyle \beta_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}$ 与 $\displaystyle \beta_{2}=t \alpha_{1}-3 \alpha_{2}+\alpha_{3}$ 正交，则 $\displaystyle t=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出向量在基下的坐标
给定基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，向量 $\beta_1=2\alpha_2-\alpha_3$ 的坐标为 $X_1=(0,2,-1)^T$；向量 $\beta_2=t\alpha_1-3\alpha_2+\alpha_3$ 的坐标为 $X_2=(t,-3,1)^T$。
提示：注意坐标与基的对应顺序，系数依次对应 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$。
步骤 2/6
目标：正交条件转化为内积为零
$\beta_1$ 与 $\beta_2$ 正交，即内积 $(\beta_1,\beta_2)=0$。
公式：$(\beta_1,\beta_2)=0$
提示：正交的定义是内积为零。
步骤 3/6
目标：用度量矩阵表示内积
在基 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下，内积由度量矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}$ 决定，即 $(\beta_1,\beta_2)=X_1^T A X_2$。
公式：$(\beta_1,\beta_2)=X_1^T A X_2$
提示：度量矩阵是对称的，注意矩阵乘法的顺序。
步骤 4/6
目标：计算 $X_1^T A$
计算 $X_1^T A = (0,2,-1) \begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix} = (-3,4,-3)$。
提示：矩阵乘法时注意行与列对应相乘。
步骤 5/6
目标：计算内积表达式
将 $X_1^T A$ 与 $X_2$ 相乘：$(-3,4,-3) \begin{pmatrix}t\\-3\\1\end{pmatrix} = -3t + 4\cdot(-3) + (-3)\cdot1 = -3t -12 -3 = -3t -15$。
提示：注意符号，尤其是负数的乘法。
步骤 6/6
目标：解方程求 $t$
令内积为零：$-3t -15 = 0$，解得 $t = -5$。
公式：$-3t-15=0$
提示：解一元一次方程时注意移项变号。
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