哈尔滨工程大学 2025年高等代数第11题

计算 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-4 & -5 & 2 \\ 2 & \lambda+2 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$(\lambda-4)[(\lambda+2)(\lambda-1)+1] - (-5)[2(\lambda-1)+1] + 2[2 - (\lambda+2)] = (\lambda-4)(\lambda^2+\lambda-1) +5(2\lambda-1) +2(-\lambda) = \lambda^3 -3\lambda^2+3\lambda-1 = (\lambda-1)^3$。

由特征多项式 $|\lambda I - A| = (\lambda-1)^3$ 得特征值 $\lambda=1$（三重根），即代数重数为3。

计算 $A - I = \begin{pmatrix} 3 & 5 & -2 \\ -2 & -3 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$。求秩：行变换得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为2，所以几何重数 = 3 - 2 = 1。

代数重数3，几何重数1，所以只有一个Jordan块，大小为3。Jordan标准形为 $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

解 $(A-I)\mathbf{v}_1=0$，即 $\begin{pmatrix} 3 & 5 & -2 \\ -2 & -3 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{v}_1 = 0$。行化简得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{v}_1 = 0$，取 $\mathbf{v}_1 = (1, -1, -1)^T$。

解 $(A-I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1$：增广矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 5 & -2 & 1 \\ -2 & -3 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，行化简得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，取 $\mathbf{v}_2 = (1, -1, 0)^T$。再解 $(A-I)\mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_2$：增广矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 5 & -2 & 1 \\ -2 & -3 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，行化简得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，取 $\mathbf{v}_3 = (1, 0, 0)^T$。

令 $T = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $T$ 可逆（行列式不为0）。计算 $T^{-1}$ 并验证 $A = T J T^{-1}$。