哈尔滨工程大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X A=B$ ，则 $\displaystyle X=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由方程推导X的表达式
给定方程 $AXA = B$，由于 $A$ 可逆，两边左乘 $A^{-1}$ 得 $XA = A^{-1}B$，再右乘 $A^{-1}$ 得 $X = A^{-1} B A^{-1}$。
公式：X = A^{-1} B A^{-1}
提示：注意左乘和右乘的顺序，不可交换。
步骤 2/6
目标：计算A的行列式
计算 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ 的行列式：按第一行展开，$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = -4$。
公式：det(A) = -4
提示：行列式不为0，确保A可逆。
步骤 3/6
目标：求A的伴随矩阵
计算各元素的代数余子式：$A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4$，$A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1$，$A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$，$A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$，$A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$，$A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$，$A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$，$A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3$，$A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$。伴随矩阵 $A^* = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：A^* = (A_{ji})
提示：注意代数余子式的符号，伴随矩阵是转置形式。
步骤 4/6
目标：求A的逆矩阵
由 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$，得 $A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}$。
公式：A^{-1} = (1/det(A)) A^*
提示：注意分数化简。
步骤 5/6
目标：计算A^{-1}B
计算 $A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：注意矩阵乘法规则，逐行乘列。
步骤 6/6
目标：计算X = (A^{-1}B) A^{-1}
计算 $X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：计算时注意分数运算，避免出错。
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