哈尔滨工程大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3．令 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上由矩阵 $A$ 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \omega & \\
& & \omega^{2}
\end{array}\right), w=\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}, \text { 且 } \mathrm{i}^{2}=-1 .
$$
则 $V$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题：线性空间V的定义
V是$\mathbb{R}$上由矩阵$A$的全体实系数多项式组成的线性空间，即$V = \{ f(A) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x] \}$。$A$是$3\times 3$对角矩阵，$A = \operatorname{diag}(1, \omega, \omega^2)$，其中$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$是三次单位根，满足$\omega^3=1$且$\omega \neq 1$。
提示：注意$\omega$是复数，但$V$是实数域上的线性空间，多项式系数为实数。
步骤 2/7
目标：确定A的特征值
由于$A$是对角矩阵，特征值即对角元：$\lambda_1=1$，$\lambda_2=\omega$，$\lambda_3=\omega^2$。这三个特征值互不相同，且满足$\lambda^3=1$。
提示：特征值互异是后续判断线性无关的关键。
步骤 3/7
目标：寻找A的最小多项式
因为$A$有三个不同的特征值，所以$A$的最小多项式是次数为3的多项式，且以这三个特征值为根。实系数多项式$\lambda^3-1$满足$A^3=I$，且没有更低次的实系数多项式能零化$A$（否则该多项式会有三个不同的根，次数至少为3）。因此最小多项式为$m(\lambda)=\lambda^3-1$。
公式：$m(\lambda)=\lambda^3-1$
提示：注意$\lambda^3-1$在$\mathbb{R}$上可分解为$(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)$，但$A$不满足$A^2+A+I=0$，因为$A^2+A+I=\operatorname{diag}(3,0,0) \neq 0$，所以最小多项式不是$\lambda^2+\lambda+1$。
步骤 4/7
目标：确定V的维数等于最小多项式的次数
对于由矩阵$A$的实系数多项式生成的线性空间$V$，其维数等于$A$的最小多项式的次数。因为最小多项式次数为3，所以$\dim V = 3$。
公式：$\dim V = \deg(m(\lambda)) = 3$
提示：一般结论：若$A$是$n\times n$矩阵，则$\{I, A, \ldots, A^{d-1}\}$是$V$的一组基，其中$d$是最小多项式的次数。
步骤 5/7
目标：验证基的线性无关性
考虑矩阵$I, A, A^2$。假设存在实数$a,b,c$使得$aI + bA + cA^2 = 0$。对每个特征值$\lambda \in \{1, \omega, \omega^2\}$，有$a + b\lambda + c\lambda^2 = 0$。该线性方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵，行列式非零，故只有零解$a=b=c=0$。因此$I, A, A^2$线性无关，维数至少为3。
公式：$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{vmatrix} \neq 0$
提示：注意$\omega^4 = \omega$，因为$\omega^3=1$。
步骤 6/7
目标：验证基的生成性
由于$A^3 = I$，任何$A$的多项式$f(A)$都可以通过多项式除法化为次数不超过2的多项式：$f(A) = q(A)(A^3-I) + r(A)$，其中$\deg r \leq 2$。因此$V$中任意元素可由$I, A, A^2$线性表示，故$\{I, A, A^2\}$是$V$的一组基，维数为3。
提示：注意多项式除法在实数域上进行，系数为实数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，$V$的维数为$3$。
提示：答案：3
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