哈尔滨工程大学 2025年高等代数第10题

将向量 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 按列排成矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2)$： $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 & 5 \end{pmatrix} $$ 对 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形： 先交换第1行和第3行： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 & 5 \end{pmatrix} $$ 然后 $R_3 - 2R_1$, $R_4 - 3R_1$, $R_5 + R_1$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & -1 & -6 \\ 0 & -2 & 1 & 7 \end{pmatrix} $$ 接着 $R_3 - R_2$, $R_4 + R_2$, $R_5 - R_2$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix} $$ 交换第4行和第5行，然后 $R_5 + \frac{9}{10}R_4$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ $R_4 / 10$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 最后 $R_1 - 2R_4$, $R_2 + 3R_4$： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

行最简形有3个非零行，所以矩阵的秩为3，即 $\dim(W_1+W_2)=3$。主元列位于第1、2、4列，对应原向量组中的 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_2$。因此 $W_1+W_2$ 的一组基为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \beta_2\}$。

设 $\xi \in W_1 \cap W_2$，则存在数 $k_1, k_2, l_1, l_2$ 使得 $\xi = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = l_1\beta_1 + l_2\beta_2$。移项得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$。该齐次线性方程组的系数矩阵即为 $A$。

由行最简形矩阵得到约束方程组： $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ -2x_2 + x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$ 其中 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 对应 $(k_1, k_2, -l_1, -l_2)$。取 $x_2 = t$ 为自由变量，则 $x_1 = -t$, $x_3 = 2t$, $x_4 = 0$。所以解为 $(k_1, k_2, -l_1, -l_2) = (-t, t, 2t, 0)$，即 $(k_1, k_2, l_1, l_2) = (-t, t, -2t, 0)$。

将解代入 $\xi = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$ 得 $\xi = -t\alpha_1 + t\alpha_2 = t(-\alpha_1 + \alpha_2)$。计算 $-\alpha_1 + \alpha_2$： $$ -\alpha_1 + \alpha_2 = -\begin{pmatrix}2\\0\\1\\3\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-2\\1\\5\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\0\\2\\-2\end{pmatrix} $$ 所以 $W_1 \cap W_2$ 由向量 $(-2,-2,0,2,-2)^T$ 张成，维数为1，基为 $\{(-2,-2,0,2,-2)^T\}$。