四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $f(x)=x^{n}+2025 x+3$ ，其中 $n$ 是大于 1 的整数．证明：$f(x)$ 的全部复根互不相同．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：转化为无公共根问题
要证明 $f(x)$ 的全部复根互不相同，只需证明 $f(x)$ 与其导函数 $f'(x)$ 没有公共根。因为若 $\alpha$ 是重根，则 $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$。
提示：注意：多项式有重根的充要条件是它与导函数有公共根。
步骤 2/8
目标：计算导函数并假设公共根
计算导函数：$f'(x)=n x^{n-1}+2025$。假设存在 $\alpha$ 使得 $f(\alpha)=0$ 且 $f'(\alpha)=0$，则得到方程组：
\begin{cases}
\alpha^n+2025\alpha+3=0, \\
n\alpha^{n-1}+2025=0.
\end{cases}
提示：注意导函数公式不要写错。
步骤 3/8
目标：从导函数方程解出 $\alpha^{n-1}$
由第二个方程得 $n\alpha^{n-1}=-2025$，即 $\alpha^{n-1}=-\frac{2025}{n}$。
公式：\alpha^{n-1}=-\frac{2025}{n}
提示：注意符号：$n\alpha^{n-1}+2025=0$ 移项得 $n\alpha^{n-1}=-2025$。
步骤 4/8
目标：代入第一个方程化简
将 $\alpha^n = \alpha \cdot \alpha^{n-1} = \alpha \left(-\frac{2025}{n}\right)$ 代入第一个方程：
$$\alpha\left(-\frac{2025}{n}\right)+2025\alpha+3=0$$
整理得 $2025\alpha\left(1-\frac{1}{n}\right)+3=0$，即 $2025\alpha\cdot\frac{n-1}{n}=-3$。
公式：2025\alpha\cdot\frac{n-1}{n}=-3
提示：注意合并同类项时小心系数。
步骤 5/8
目标：解出 $\alpha$ 的表达式
由 $2025\alpha\cdot\frac{n-1}{n}=-3$ 解得 $\alpha = -\frac{3n}{2025(n-1)} = -\frac{n}{675(n-1)}$。
公式：\alpha = -\frac{n}{675(n-1)}
提示：化简时注意约分：$2025=3\times675$，所以 $\frac{3n}{2025(n-1)}=\frac{n}{675(n-1)}$。
步骤 6/8
目标：代入 $\alpha^{n-1}$ 表达式得到方程
将 $\alpha$ 代入 $\alpha^{n-1}=-\frac{2025}{n}$ 得：
$$\left(-\frac{n}{675(n-1)}\right)^{n-1} = -\frac{2025}{n}$$
两边取绝对值（注意 $n-1$ 为整数，左边符号取决于 $n-1$ 的奇偶性，但绝对值相等）：
$$\left(\frac{n}{675(n-1)}\right)^{n-1} = \frac{2025}{n}$$
公式：\left(\frac{n}{675(n-1)}\right)^{n-1} = \frac{2025}{n}
提示：取绝对值时注意：若 $n-1$ 为奇数，左边负号消失，但右边为正，所以绝对值相等。
步骤 7/8
目标：分析方程不可能成立
将方程改写为 $\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1} = \frac{2025\cdot675^{n-1}}{n}$。
左边 $\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}$ 当 $n>1$ 时，最大值在 $n=2$ 时为 $2$，且单调递增趋于 $e$，故左边 $\le 2$（$n=2$ 时取等）。
右边当 $n=2$ 时为 $\frac{2025\cdot675}{2}=683437.5$，当 $n\ge3$ 时更大，远大于 $2$。因此等式不可能成立。
公式：\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1} \le 2 \quad (n\ge2)
提示：注意：$\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}$ 在 $n=2$ 时等于2，之后单调递减趋于 $e$，但始终小于等于2。
步骤 8/8
目标：得出结论
不存在公共根，因此 $f(x)$ 无重根，即全部复根互不相同。
提示：重根与公共根的等价性是关键。
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