📝 四川大学 2026年高等代数真题

1．设 $f(x)=x^{n}+2025 x+3$ ，其中 $n$ 是大于 1 的整数．证明：$f(x)$ 的全部复根互不相同．

2．设 $g(x)=x^{5}-2 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-x+1, h(x)=x^{2026}-7$ ．证明：对于数域 $\mathbb{F}$ 上的任意多项式 $q(x)$ ，都存在 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $q(x)=u(x) g(x)+v(x) h(x)$ 。

3．是否存在特征多项式为 $x^{6}-4 x^{5}+6 x^{4}-8 x^{3}+9 x^{2}-4 x+4$ 的实对称矩阵？说明理由．

4．证明：多项式 $x^{2026}+x^{2024}+x^{3}-3 x+1$ 的根不可能都是实根．

1．求 $a$ 的值，使得线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-5 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=11 \\
-3 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=-5 \\
-x_{1}-9 x_{2}-4 x_{4}=17 \\
5 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}=a
\end{array}\right.
$$

有解，并在有解的情况下求出其在数域 $\mathbb{F}$ 上的通解．

2．设 $n, m$ 是正整数且 $n>m$ ，设 $b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $b_{m} \neq 0$ ．证明：对任意的 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{F}$ ，关于 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-m}, y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{m-1}$ 的方程组

$$
\begin{cases}y_{i}+\sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=0,1, \cdots, m-1 \\ \sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=m, m+1, \cdots, n\end{cases}
$$

有唯一解。

3．设 $A$ 是 6 阶实对称矩阵，$f(x)=\left|x E_{6}-A\right|$ ，其中 $E_{6}$ 是 6 阶单位阵。设 $(x-a)^{4} \mid f(x)$ ，且 $(x-a)^{5} \nmid f(x)$ ，求齐次线性方程组 $\left(A-a E_{6}\right) X=0$ 的基础解系所包含解向量的个数．

1．设

$$
R=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}
\end{array}\right) .
$$

其中 $a_{i}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $a_{n} \neq 0, n>1$ ．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $R$ 的伴随矩阵的全部特征值（重根按重数计），求 $R$ 的特征多项式和 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}$ ．

2．设 $A, B, C$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 可逆，$A B=B A, C(A+B)=-B A^{-1}$ ．证明：$r(C)=r(B)$ ，且 -1 不是 $C A$ 的特征值．

1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．

2．设 $\mathscr{T}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，其特征多项式为 $f(x)=x^{4}-x^{3}+x-1$ ，求 $\mathscr{T}$ 的极小多项式．

3．设 $V$ 是欧氏空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} V_{1}>\operatorname{dim} V_{2}$ ．证明：存在 $V$ 的满足如下条件的子空间 $V_{3}: V_{3} \subset V_{1}, V_{3} \perp V_{2}, \operatorname{dim} V_{3} \geq \operatorname{dim} V_{1}-\operatorname{dim} V_{2}$ ．

1．设 $V_{1}, V_{2}$ 是某个线性空间的子空间，满足 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+1<\infty$ ．证明：$V_{1} \cup V_{2}$ 是子空间．

2．设 $\mathscr{T}$ 是有限维空间 $V$ 上的线性变换，设 $V_{0}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, V_{1}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$ ，其中 $\operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$分别表示线性变换 $\mathscr{T}^{i}$ 的核与像。证明：$V_{0}, V_{1}$ 都是 $\mathscr{T}$ 的不变子空间，且 $V=V_{0} \oplus V_{1}$ ．

3．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 为 $V$ 的一组基，且

$$
\begin{gathered}
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=8 \varepsilon_{1}-10 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+3 \varepsilon_{2}+6 \varepsilon_{3} \\
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{1}-3 \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{4}\right)=-2 \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}+4 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}
\end{gathered}
$$

求 $\mathscr{A}$ 的全部特征子空间。

1．设 $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$ ，证明：$(m+n) \times(m+n)$ 型矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & B \\ O & O\end{array}\right)$ 相似当且仅当 $A$ 与 $B$ 秩相等．

2．设 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 不相似于 $(1,1)$ —元为 0 的方阵，$n>1$ ，证明：存在 $0 \neq a \in \mathbb{F}$ ，使得 $A=a E_{n}$ ，其中 $E_{n}$ 是 $n$ 阶单位阵。