四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$ ，证明：$(m+n) \times(m+n)$ 型矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & B \\ O & O\end{array}\right)$ 相似当且仅当 $A$ 与 $B$ 秩相等．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定矩阵并明确问题
设 $X = \begin{pmatrix} O & A \\ O & O \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} O & B \\ O & O \end{pmatrix}$，其中 $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$。需要证明 $X$ 与 $Y$ 相似当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
提示：注意矩阵的分块结构，$O$ 表示零矩阵，其大小需根据上下文确定。
步骤 2/7
目标：证明必要性：相似推出秩相等
若 $X$ 与 $Y$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} X P = Y$。相似矩阵有相同的秩，故 $\operatorname{rank}(X) = \operatorname{rank}(Y)$。计算 $X$ 的秩：$\operatorname{rank}(X) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} O & A \\ O & O \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(A)$，同理 $\operatorname{rank}(Y) = \operatorname{rank}(B)$。因此 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\operatorname{rank}(X) = \operatorname{rank}(A)$
提示：注意分块矩阵的秩等于左上非零块的秩，但这里 $A$ 在右上角，实际上 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} O & A \\ O & O \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(A)$，因为可以通过行变换和列变换将 $A$ 移到左上角。
步骤 3/7
目标：证明充分性：秩相等构造相似变换
设 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) = r$。则存在可逆矩阵 $P_1 \in GL_m(\mathbb{F})$, $Q_1 \in GL_n(\mathbb{F})$ 使得 $P_1 A Q_1 = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$。同样，存在 $P_2 \in GL_m(\mathbb{F})$, $Q_2 \in GL_n(\mathbb{F})$ 使得 $P_2 B Q_2 = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$。于是 $A = P_1^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q_1^{-1}$，$B = P_2^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q_2^{-1}$。
公式：$P_1 A Q_1 = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$
提示：注意 $P_1$ 和 $Q_1$ 分别是左乘和右乘的可逆矩阵，用于将 $A$ 化为标准型。
步骤 4/7
目标：构造相似变换矩阵
构造分块矩阵 $P = \begin{pmatrix} P_1^{-1} P_2 & O \\ O & Q_2^{-1} Q_1 \end{pmatrix}$。由于 $P_1^{-1} P_2$ 和 $Q_2^{-1} Q_1$ 均可逆，$P$ 可逆，且 $P^{-1} = \begin{pmatrix} P_2^{-1} P_1 & O \\ O & Q_1^{-1} Q_2 \end{pmatrix}$。
公式：$P = \begin{pmatrix} P_1^{-1} P_2 & O \\ O & Q_2^{-1} Q_1 \end{pmatrix}$
提示：注意分块对角矩阵的逆等于各块逆的矩阵。
步骤 5/7
目标：计算相似变换
计算 $P^{-1} X P$：
$$P^{-1} X P = \begin{pmatrix} P_2^{-1} P_1 & O \\ O & Q_1^{-1} Q_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & A \\ O & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_1^{-1} P_2 & O \\ O & Q_2^{-1} Q_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & P_2^{-1} P_1 A Q_2^{-1} Q_1 \\ O & O \end{pmatrix}.$$
提示：分块矩阵乘法时注意块的大小匹配。
步骤 6/7
目标：化简右上角块
将 $A$ 的表达式代入：
$$P_2^{-1} P_1 A Q_2^{-1} Q_1 = P_2^{-1} P_1 \left( P_1^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q_1^{-1} \right) Q_2^{-1} Q_1 = P_2^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q_2^{-1} = B.$$
公式：$P_2^{-1} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q_2^{-1} = B$
提示：注意 $P_1 P_1^{-1} = I$ 和 $Q_1^{-1} Q_1 = I$ 的消去。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $P^{-1} X P = \begin{pmatrix} O & B \\ O & O \end{pmatrix} = Y$，即 $X$ 与 $Y$ 相似。综上，$\begin{pmatrix} O & A \\ O & O \end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix} O & B \\ O & O \end{pmatrix}$ 相似当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
提示：充分性证明的关键是构造合适的 $P$，利用 $A$ 和 $B$ 有相同的秩标准型。
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