四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 是 6 阶实对称矩阵，$f(x)=\left|x E_{6}-A\right|$ ，其中 $E_{6}$ 是 6 阶单位阵。设 $(x-a)^{4} \mid f(x)$ ，且 $(x-a)^{5} \nmid f(x)$ ，求齐次线性方程组 $\left(A-a E_{6}\right) X=0$ 的基础解系所包含解向量的个数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与已知条件
题目给出 $A$ 是6阶实对称矩阵，特征多项式 $f(x)=|xE_6-A|$。已知 $(x-a)^4 \mid f(x)$ 且 $(x-a)^5 \nmid f(x)$，即 $a$ 是 $A$ 的特征值，且代数重数为4。
提示：注意区分整除符号：$(x-a)^4 \mid f(x)$ 表示 $f(x)$ 含有因子 $(x-a)^4$，但 $(x-a)^5$ 不是因子。
步骤 2/5
目标：回忆实对称矩阵的性质
实对称矩阵的一个重要性质是：它可对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = \Lambda$ 为对角矩阵。这意味着每个特征值的几何重数等于代数重数。
提示：可对角化是实对称矩阵的关键性质，但注意并非所有矩阵都可对角化。
步骤 3/5
目标：确定特征值a的代数重数
由条件 $(x-a)^4 \mid f(x)$ 且 $(x-a)^5 \nmid f(x)$，可知特征值 $a$ 在特征多项式中的重数为4，即代数重数为4。
提示：代数重数是指特征多项式根的重数，这里为4。
步骤 4/5
目标：利用可对角化推导几何重数
由于 $A$ 是实对称矩阵，可对角化，因此特征值 $a$ 的几何重数等于代数重数。几何重数即齐次线性方程组 $(A-aE_6)X=0$ 的解空间维数，也就是基础解系所含解向量的个数。
提示：几何重数 = $\dim\ker(A-aE_6)$，等于代数重数当且仅当矩阵可对角化。
步骤 5/5
目标：得出基础解系个数
因此，几何重数为4，故齐次线性方程组 $(A-aE_6)X=0$ 的基础解系包含4个解向量。
提示：基础解系中解向量的个数等于解空间的维数，即几何重数。
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