四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $\mathscr{T}$ 是有限维空间 $V$ 上的线性变换，设 $V_{0}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, V_{1}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$ ，其中 $\operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$分别表示线性变换 $\mathscr{T}^{i}$ 的核与像。证明：$V_{0}, V_{1}$ 都是 $\mathscr{T}$ 的不变子空间，且 $V=V_{0} \oplus V_{1}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 V0 是 T-不变子空间
任取 $v \in V_0$，则存在 $i \geq 1$ 使得 $\mathcal{T}^i(v)=0$。考虑 $\mathcal{T}(v)$，有 $\mathcal{T}^{i+1}(\mathcal{T}(v)) = \mathcal{T}^{i+2}(v)=0$，故 $\mathcal{T}(v) \in \operatorname{Ker} \mathcal{T}^{i+1} \subseteq V_0$。因此 $V_0$ 在 $\mathcal{T}$ 下不变。
公式：$\mathcal{T}^{i+1}(\mathcal{T}(v)) = \mathcal{T}^{i+2}(v)$
提示：注意 $V_0$ 是并集，需对每个 $v$ 找到对应的 $i$，然后验证 $\mathcal{T}(v)$ 属于某个 $\operatorname{Ker} \mathcal{T}^j$。
步骤 2/6
目标：证明 V1 是 T-不变子空间
任取 $w \in V_1$，则对任意 $i \geq 1$，存在 $u_i \in V$ 使得 $w = \mathcal{T}^i(u_i)$。于是 $\mathcal{T}(w) = \mathcal{T}^{i+1}(u_i) \in \operatorname{Im} \mathcal{T}^{i+1}$。由于 $i$ 任意，$\mathcal{T}(w) \in \bigcap_{i=1}^\infty \operatorname{Im} \mathcal{T}^i = V_1$。因此 $V_1$ 在 $\mathcal{T}$ 下不变。
公式：$\mathcal{T}(w) = \mathcal{T}^{i+1}(u_i)$
提示：注意 $V_1$ 是交集，需对每个 $i$ 验证 $\mathcal{T}(w) \in \operatorname{Im} \mathcal{T}^{i+1}$，从而属于所有像的交集。
步骤 3/6
目标：利用有限维性质得到稳定指数 k
由于 $V$ 是有限维，核链 $\operatorname{Ker} \mathcal{T} \subseteq \operatorname{Ker} \mathcal{T}^2 \subseteq \cdots$ 和像链 $\operatorname{Im} \mathcal{T} \supseteq \operatorname{Im} \mathcal{T}^2 \supseteq \cdots$ 最终稳定。存在正整数 $k$ 使得 $\operatorname{Ker} \mathcal{T}^k = \operatorname{Ker} \mathcal{T}^{k+1} = \cdots$ 且 $\operatorname{Im} \mathcal{T}^k = \operatorname{Im} \mathcal{T}^{k+1} = \cdots$。于是 $V_0 = \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k$，$V_1 = \operatorname{Im} \mathcal{T}^k$。
公式：$\operatorname{Ker} \mathcal{T}^k = \operatorname{Ker} \mathcal{T}^{k+1}$，$\operatorname{Im} \mathcal{T}^k = \operatorname{Im} \mathcal{T}^{k+1}$
提示：稳定指数 $k$ 的存在性依赖于有限维，需注意核链递增、像链递减，且维数有限，故必稳定。
步骤 4/6
目标：证明 V0 ∩ V1 = {0}
设 $x \in V_0 \cap V_1$，则 $x \in \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k$ 且 $x \in \operatorname{Im} \mathcal{T}^k$。存在 $y \in V$ 使得 $x = \mathcal{T}^k(y)$。由 $\mathcal{T}^k(x)=0$ 得 $\mathcal{T}^{2k}(y)=0$，故 $y \in \operatorname{Ker} \mathcal{T}^{2k} = \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k$，从而 $x = \mathcal{T}^k(y)=0$。因此 $V_0 \cap V_1 = \{0\}$。
公式：$\mathcal{T}^{2k}(y)=0 \Rightarrow y \in \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k$
提示：关键步骤：利用 $\operatorname{Ker} \mathcal{T}^{2k} = \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k$ 推出 $y \in \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k$，从而 $x=0$。
步骤 5/6
目标：证明 V = V0 + V1
由维数公式 $\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k + \dim \operatorname{Im} \mathcal{T}^k = \dim V_0 + \dim V_1$。又 $V_0 \cap V_1 = \{0\}$，故 $\dim(V_0 + V_1) = \dim V_0 + \dim V_1 = \dim V$，因此 $V = V_0 + V_1$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathcal{T}^k + \dim \operatorname{Im} \mathcal{T}^k$
提示：注意维数公式对任意线性变换成立，且 $V_0+V_1$ 是子空间，维数等于 $\dim V$ 时即等于整个空间。
步骤 6/6
目标：结论：V = V0 ⊕ V1
由 $V_0 \cap V_1 = \{0\}$ 和 $V = V_0 + V_1$ 知 $V = V_0 \oplus V_1$。且已证 $V_0, V_1$ 是 $\mathcal{T}$-不变子空间。
提示：直和分解要求交为零且和为全空间，两者均已证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。