四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f = x_1x_2 + x_1x_3 - x_2x_3 + x_4^2 - 2x_4x_5$ 的矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 为对称矩阵。对于交叉项 $x_i x_j$（$i \neq j$），$A_{ij} = A_{ji}$ 等于该项系数的一半。因此：
$A_{12}=A_{21}=\frac{1}{2}$，$A_{13}=A_{31}=\frac{1}{2}$，$A_{23}=A_{32}=-\frac{1}{2}$，$A_{44}=1$，$A_{45}=A_{54}=-1$，其余元素为0。故
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. $$
公式：二次型矩阵元素：$A_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$A_{ij}=\frac{1}{2}$（交叉项系数）
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/7
目标：分离前三个变量，作可逆线性变换
先处理前三个变量 $x_1,x_2,x_3$ 对应的子块 $A_1 = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$。作可逆线性变换：令
$$ y_1 = x_1 + x_2, \quad y_2 = x_1 - x_2, \quad y_3 = x_3, $$
则
$$ x_1 = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad x_2 = \frac{y_1 - y_2}{2}, \quad x_3 = y_3. $$
公式：线性变换：$\mathbf{x} = P \mathbf{y}$，其中 $P$ 可逆
提示：变换需可逆，此处 $P$ 的行列式不为0。
步骤 3/7
目标：代入前三项并化简
将 $x_1,x_2,x_3$ 代入 $x_1x_2 + x_1x_3 - x_2x_3$：
$$ \begin{aligned} x_1x_2 &= \frac{y_1+y_2}{2} \cdot \frac{y_1-y_2}{2} = \frac{y_1^2 - y_2^2}{4}, \\ x_1x_3 &= \frac{y_1+y_2}{2} y_3, \\ -x_2x_3 &= -\frac{y_1-y_2}{2} y_3. \end{aligned} $$
相加得
$$ \frac{y_1^2 - y_2^2}{4} + \frac{y_1+y_2}{2}y_3 - \frac{y_1-y_2}{2}y_3 = \frac{1}{4}y_1^2 - \frac{1}{4}y_2^2 + y_2y_3. $$
公式：代入化简
提示：注意符号，合并同类项时小心。
步骤 4/7
目标：对 $y_2,y_3$ 部分配方
对 $ -\frac{1}{4}y_2^2 + y_2y_3 $ 配方：
$$ -\frac{1}{4}y_2^2 + y_2y_3 = -\frac{1}{4}(y_2^2 - 4y_2y_3) = -\frac{1}{4}\left[(y_2 - 2y_3)^2 - 4y_3^2\right] = -\frac{1}{4}(y_2 - 2y_3)^2 + y_3^2. $$
因此前三项化为
$$ \frac{1}{4}y_1^2 - \frac{1}{4}(y_2 - 2y_3)^2 + y_3^2. $$
公式：配方法：$ay^2+by = a\left(y+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}$
提示：配方时注意系数，不要漏掉常数项。
步骤 5/7
目标：引入新变量 $z_1,z_2,z_3$
令
$$ z_1 = y_1, \quad z_2 = y_2 - 2y_3, \quad z_3 = y_3, $$
则前三项变为
$$ \frac{1}{4}z_1^2 - \frac{1}{4}z_2^2 + z_3^2. $$
公式：线性变换：$\mathbf{z} = Q \mathbf{y}$，$Q$ 可逆
提示：变换必须可逆，此处 $Q$ 是上三角矩阵，行列式为1。
步骤 6/7
目标：处理后两个变量 $x_4,x_5$
后两项为 $x_4^2 - 2x_4x_5$。配方：
$$ x_4^2 - 2x_4x_5 = (x_4 - x_5)^2 - x_5^2. $$
令
$$ z_4 = x_4 - x_5, \quad z_5 = x_5, $$
则后两项化为
$$ z_4^2 - z_5^2. $$
公式：配方法：$x^2 - 2xy = (x-y)^2 - y^2$
提示：注意 $x_5$ 的系数为0，所以 $x_5^2$ 项来自配方。
步骤 7/7
目标：写出标准形并确定惯性指数
综合以上，二次型化为标准形
$$ \frac{1}{4}z_1^2 - \frac{1}{4}z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 - z_5^2. $$
正平方项系数：$\frac{1}{4}>0$，$1>0$，$1>0$，共3个；负平方项系数：$-\frac{1}{4}<0$，$-1<0$，共2个。因此正惯性指数为3，负惯性指数为2。
公式：惯性指数：标准形中正、负平方项的个数
提示：惯性指数与变换无关，只取决于二次型本身。
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