四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设
$$
R=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}
\end{array}\right) .
$$
其中 $a_{i}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $a_{n} \neq 0, n>1$ ．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $R$ 的伴随矩阵的全部特征值（重根按重数计），求 $R$ 的特征多项式和 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵类型并写出特征多项式
矩阵 $R$ 是友矩阵（Frobenius companion matrix），其最后一列为 $(-a_n, -a_{n-1}, \dots, -a_1)^T$，次对角线为1。友矩阵的特征多项式为 $\det(\lambda I - R) = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2} + \cdots + a_{n-1} \lambda + a_n$。
公式：\det(\lambda I - R) = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_n
提示：注意特征多项式的符号：友矩阵通常定义为最后一列为负系数，因此特征多项式系数为正。
步骤 2/6
目标：计算矩阵R的行列式
由于 $R$ 是友矩阵，其行列式等于 $(-1)^n a_n$。可以通过展开或已知结论得到：$\det(R) = (-1)^n a_n$。因为 $a_n \neq 0$，所以 $R$ 可逆。
公式：\det(R) = (-1)^n a_n
提示：注意行列式的符号：友矩阵的行列式为 $(-1)^n a_n$，而不是 $a_n$。
步骤 3/6
目标：表示伴随矩阵的特征值
设 $R$ 的特征值为 $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n$（即特征多项式的根）。由于 $R$ 可逆，伴随矩阵 $R^*$ 的特征值为 $\lambda_i = \frac{\det(R)}{\mu_i}$，其中 $\mu_i \neq 0$。代入 $\det(R) = (-1)^n a_n$，得 $\lambda_i = \frac{(-1)^n a_n}{\mu_i}$。
公式：\lambda_i = \frac{\det(R)}{\mu_i} = \frac{(-1)^n a_n}{\mu_i}
提示：伴随矩阵的特征值与原矩阵特征值的关系：若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 的特征值为 $\det(A)/\lambda$。
步骤 4/6
目标：计算特征值平方和表达式
需要求 $\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{(-1)^n a_n}{\mu_i}\right)^2 = a_n^2 \sum_{i=1}^n \frac{1}{\mu_i^2}$，因为 $(-1)^{2n}=1$。
公式：\sum \lambda_i^2 = a_n^2 \sum \frac{1}{\mu_i^2}
提示：注意平方后符号消失。
步骤 5/6
目标：利用韦达定理求根的倒数的平方和
考虑多项式 $g(\lambda) = \lambda^n f(1/\lambda) = 1 + a_1 \lambda + \cdots + a_n \lambda^n$，其根为 $1/\mu_i$。由韦达定理：$\sum \frac{1}{\mu_i} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$，$\sum_{i
公式：\sum \frac{1}{\mu_i^2} = \frac{a_{n-1}^2}{a_n^2} - \frac{2a_{n-2}}{a_n}
提示：注意韦达定理中符号：$\sum 1/\mu_i = -a_{n-1}/a_n$，因为 $g(\lambda)$ 的首项系数是 $a_n$。
步骤 6/6
目标：代入得到最终结果
将 $\sum \frac{1}{\mu_i^2}$ 代入 $\sum \lambda_i^2 = a_n^2 \left( \frac{a_{n-1}^2}{a_n^2} - \frac{2a_{n-2}}{a_n} \right) = a_{n-1}^2 - 2a_n a_{n-2}$。
公式：\sum \lambda_i^2 = a_{n-1}^2 - 2a_n a_{n-2}
提示：最终结果简洁，注意 $n>1$ 时 $a_{n-2}$ 存在；若 $n=2$，则 $a_{n-2}=a_0$？实际上 $a_0$ 未定义，但题目 $n>1$，当 $n=2$ 时 $a_{n-2}=a_0$ 应理解为0？但根据特征多项式，$a_0$ 不存在，所以公式中 $a_{n-2}$ 在 $n=2$ 时视为0？更严谨地，$n=2$ 时 $a_{n-2}=a_0$ 未定义，但由推导，$\sum 1/\mu_i^2 = a_1^2/a_2^2$，所以 $\sum \lambda_i^2 = a_1^2$，而 $a_{n-2}=a_0$ 应理解为0，因此公式仍成立。
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