四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $a$ 的值，使得线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-5 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=11 \\
-3 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=-5 \\
-x_{1}-9 x_{2}-4 x_{4}=17 \\
5 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}=a
\end{array}\right.
$$
有解，并在有解的情况下求出其在数域 $\mathbb{F}$ 上的通解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -5 & 2 & -3 & 11 \\
-3 & 1 & -4 & 2 & -5 \\
-1 & -9 & 0 & -4 & 17 \\
5 & 3 & 6 & -1 & a
\end{pmatrix}
$$
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要遗漏负号。
步骤 2/7
目标：初等行变换消去第一列
对增广矩阵进行初等行变换：
- $R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$
- $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$
- $R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1$
得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -5 & 2 & -3 & 11 \\
0 & -14 & 2 & -7 & 28 \\
0 & -14 & 2 & -7 & 28 \\
0 & 28 & -4 & 14 & a-55
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行变换时，常数项也要参与运算。
步骤 3/7
目标：进一步消元得到阶梯形
继续行变换：
- $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$
- $R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2$
得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -5 & 2 & -3 & 11 \\
0 & -14 & 2 & -7 & 28 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a+1
\end{pmatrix}
$$
提示：注意$R_4+2R_2$时，$28+2\times(-14)=0$，$a-55+2\times28=a+1$。
步骤 4/7
目标：判断有解条件
方程组有解当且仅当最后一行对应的方程成立，即 $a+1=0$，所以 $a=-1$。
提示：注意阶梯形中最后一行左边全为0，右边必须也为0才有解。
步骤 5/7
目标：化为行最简形
当 $a=-1$ 时，增广矩阵化为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -5 & 2 & -3 & 11 \\
0 & -14 & 2 & -7 & 28 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
将第二行除以 $-14$：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -5 & 2 & -3 & 11 \\
0 & 1 & -\frac{1}{7} & \frac{1}{2} & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第一行加上5倍第二行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{9}{7} & -\frac{1}{2} & 1 \\
0 & 1 & -\frac{1}{7} & \frac{1}{2} & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行最简形要求主元为1，且主元所在列的其他元素为0。
步骤 6/7
目标：写出等价方程组并确定自由变量
行最简形对应的方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + \frac{9}{7}x_3 - \frac{1}{2}x_4 = 1 \\
x_2 - \frac{1}{7}x_3 + \frac{1}{2}x_4 = -2
\end{cases}
$$
主元为 $x_1, x_2$，自由变量为 $x_3, x_4$。
提示：自由变量的个数等于未知数个数减去主元个数。
步骤 7/7
目标：写出通解
令 $x_3 = c_1$, $x_4 = c_2$，则通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 - \frac{9}{7}c_1 + \frac{1}{2}c_2 \\
-2 + \frac{1}{7}c_1 - \frac{1}{2}c_2 \\
c_1 \\
c_2
\end{pmatrix},\quad c_1, c_2 \in \mathbb{F}
$$
或写成向量形式：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} +
c_1 \begin{pmatrix}
-\frac{9}{7} \\ \frac{1}{7} \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix} +
c_2 \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},\quad c_1, c_2 \in \mathbb{F}
$$
提示：注意通解中自由变量的系数要正确，且常数项是特解。
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