四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $\mathscr{T}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，其特征多项式为 $f(x)=x^{4}-x^{3}+x-1$ ，求 $\mathscr{T}$ 的极小多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分解特征多项式
特征多项式为 $f(x)=x^4-x^3+x-1$。通过分组分解：$f(x)=(x^4-1)-(x^3-x)=(x^2-1)(x^2+1)-x(x^2-1)=(x^2-1)(x^2-x+1)$。
公式：$x^4-x^3+x-1=(x^2-1)(x^2-x+1)$
提示：注意分组分解的技巧，提取公因式 $x^2-1$。
步骤 2/6
目标：进一步分解因式
分解 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，$x^2-x+1$ 在实数域不可分解，但在复数域可分解为 $(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2})(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2})$。
公式：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，$x^2-x+1=(x-\frac{1+\sqrt{3}i}{2})(x-\frac{1-\sqrt{3}i}{2})$
提示：注意 $x^2-x+1$ 的判别式 $\Delta=1-4=-3<0$，所以有复根。
步骤 3/6
目标：列出所有特征值
特征值为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=-1$，$\lambda_3=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$，$\lambda_4=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$。验证后两个模长为1：$|\frac{1+\sqrt{3}i}{2}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$。
提示：正交变换的特征值模长必须为1，这是验证正确性的关键。
步骤 4/6
目标：判断正交变换的可对角化性
正交变换在复数域上是可对角化的，因为它是正规算子（满足 $\mathscr{T}^*\mathscr{T}=\mathscr{T}\mathscr{T}^*$）。因此极小多项式无重根。
提示：注意正交变换是正规算子，在复数域上可对角化，所以极小多项式是不同一次因式的乘积。
步骤 5/6
目标：写出极小多项式
极小多项式是特征多项式中所有不同一次因式的乘积，且指数为1。因此 $m(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)=(x^2-1)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x-1$。
公式：$m(x)=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x-1$
提示：由于所有特征值互异，极小多项式等于特征多项式。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$\mathscr{T}$ 的极小多项式为 $x^4-x^3+x-1$。
提示：注意极小多项式是首一多项式。
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