四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A, B, C$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 可逆，$A B=B A, C(A+B)=-B A^{-1}$ ．证明：$r(C)=r(B)$ ，且 -1 不是 $C A$ 的特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 $A+B$ 可逆
假设 $(A+B)x=0$，则 $Ax=-Bx$。由 $AB=BA$ 得 $A^{-1}B=BA^{-1}$，所以 $BA^{-1}x = A^{-1}Bx = A^{-1}(-Ax) = -x$。又由 $C(A+B) = -BA^{-1}$，两边右乘 $x$ 得 $0 = -BA^{-1}x = x$，故 $x=0$，因此 $A+B$ 可逆。
公式：$C(A+B) = -BA^{-1}$
提示：注意 $A$ 可逆，且 $AB=BA$ 可推出 $A^{-1}B=BA^{-1}$。
步骤 2/4
目标：证明 $r(C)=r(B)$
由 $C(A+B) = -BA^{-1}$ 且 $A+B$ 可逆，得 $C = -BA^{-1}(A+B)^{-1}$。由于 $A^{-1}$ 和 $(A+B)^{-1}$ 可逆，所以 $r(C)=r(B)$。
公式：$C = -BA^{-1}(A+B)^{-1}$
提示：可逆矩阵相乘不改变秩。
步骤 3/4
目标：推导 $CA(A+B) = -B$
将 $C(A+B) = -BA^{-1}$ 两边右乘 $A$，得 $C(A+B)A = -B$。由 $AB=BA$ 得 $(A+B)A = A(A+B)$，所以 $CA(A+B) = -B$。
公式：$CA(A+B) = -B$
提示：注意矩阵乘法顺序，右乘 $A$ 时利用 $AB=BA$ 交换。
步骤 4/4
目标：假设 $-1$ 是 $CA$ 的特征值并导出矛盾
假设存在非零向量 $x$ 使得 $CAx = -x$。则 $CA(A+B)x = -(A+B)x$。又由 $CA(A+B) = -B$ 得 $CA(A+B)x = -Bx$，所以 $-(A+B)x = -Bx$，即 $Ax=0$。由于 $A$ 可逆，得 $x=0$，矛盾。因此 $-1$ 不是 $CA$ 的特征值。
公式：$CAx = -x \Rightarrow Ax=0$
提示：注意 $A$ 可逆，$Ax=0$ 只有零解。
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