四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．是否存在特征多项式为 $x^{6}-4 x^{5}+6 x^{4}-8 x^{3}+9 x^{2}-4 x+4$ 的实对称矩阵？说明理由．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断特征多项式是否可分解为一次因式乘积
实对称矩阵的特征值都是实数，因此其特征多项式在实数域上必须能分解为一次因式的乘积。问题转化为判断多项式 $f(x)=x^{6}-4x^{5}+6x^{4}-8x^{3}+9x^{2}-4x+4$ 是否所有根都是实数。
提示：注意：实对称矩阵的特征多项式在实数域上可分解为一次因式的乘积，但反之不一定成立，不过这里只需判断是否存在实对称矩阵，所以必要条件是有实根。
步骤 2/7
目标：寻找有理根
尝试有理根定理，可能的有理根为 $\pm1, \pm2, \pm4$。计算：$f(1)=4$，$f(-1)=36$，$f(2)=0$，所以 $x=2$ 是一个根。
提示：计算时注意符号，避免代数错误。
步骤 3/7
目标：多项式除法除以 $(x-2)$
用多项式除法将 $f(x)$ 除以 $(x-2)$：
$$
\begin{array}{r|rrrrrrr}
& 1 & -4 & 6 & -8 & 9 & -4 & 4 \\
2 & & 2 & -4 & 4 & -8 & 2 & -4 \\
\hline
& 1 & -2 & 2 & -4 & 1 & -2 & 0 \\
\end{array}
$$
得到 $f(x)=(x-2)(x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2)$。
提示：多项式除法时，注意对齐系数，缺项补0。
步骤 4/7
目标：继续分解商式
对 $g(x)=x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2$ 试根：$g(2)=0$，所以 $x=2$ 又是根。除以 $(x-2)$：
$$
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 1 & -2 & 2 & -4 & 1 & -2 \\
2 & & 2 & 0 & 4 & 0 & 2 \\
\hline
& 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}
$$
得 $g(x)=(x-2)(x^4+2x^2+1)$。
提示：注意商式系数为 $1,0,2,0,1$，不要漏掉零系数。
步骤 5/7
目标：分解四次式
观察 $x^4+2x^2+1$，可视为 $(x^2)^2+2x^2+1$，即 $(x^2+1)^2$。因此 $f(x)=(x-2)^2(x^2+1)^2$。
公式：$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
提示：注意 $x^2+1$ 在实数域上不可分解，其根为 $\pm i$。
步骤 6/7
目标：分析根的情况
特征多项式 $f(x)=(x-2)^2(x^2+1)^2$ 的根为 $2$（二重）和 $\pm i$（各二重）。其中 $\pm i$ 不是实数，因此 $f(x)$ 有非实数的复根。
提示：实对称矩阵的特征值必须全是实数，所以存在非实根则不可能。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于实对称矩阵的特征值都是实数，而该多项式有非实数的复根，所以不存在实对称矩阵以 $f(x)$ 为特征多项式。
提示：注意：即使有实根，但若存在非实根，也不满足条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。