四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $n, m$ 是正整数且 $n>m$ ，设 $b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $b_{m} \neq 0$ ．证明：对任意的 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{F}$ ，关于 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-m}, y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{m-1}$ 的方程组
$$
\begin{cases}y_{i}+\sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=0,1, \cdots, m-1 \\ \sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=m, m+1, \cdots, n\end{cases}
$$
有唯一解。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解方程组结构
方程组包含 $n+1$ 个方程，未知数为 $x_0,\dots,x_{n-m}$（共 $n-m+1$ 个）和 $y_0,\dots,y_{m-1}$（共 $m$ 个），总未知数个数为 $(n-m+1)+m = n+1$，与方程个数相等。因此，要证明解唯一，只需证明系数矩阵可逆。
提示：注意未知数个数与方程个数相等，这是唯一解的必要条件。
步骤 2/5
目标：将方程组写成矩阵形式
定义向量 $\mathbf{x} = (x_0,\dots,x_{n-m})^T$，$\mathbf{y} = (y_0,\dots,y_{m-1})^T$，$\mathbf{a} = (a_0,\dots,a_n)^T$。则方程组可表示为分块矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
I_m & B_1 \\
0 & B_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{y} \\
\mathbf{x}
\end{pmatrix}
= \mathbf{a},
$$
其中 $I_m$ 是 $m\times m$ 单位矩阵，$B_1$ 是 $m\times (n-m+1)$ 矩阵，$B_2$ 是 $(n-m+1)\times (n-m+1)$ 矩阵，$0$ 是 $(n-m+1)\times m$ 零矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度对应关系：前 $m$ 个方程包含 $y_i$ 项，后 $n-m+1$ 个方程不含 $y_i$。
步骤 3/5
目标：分析矩阵 $B_2$ 的结构
对于 $i=m,m+1,\dots,n$，方程 $\sum_{j+k=i} b_j x_k = a_i$ 中，$j$ 从 $0$ 到 $m$，$k$ 从 $0$ 到 $n-m$，且 $j+k=i$。当 $k = i-m$ 时，$j=m$ 出现，因此 $B_2$ 的对角线元素为 $b_m$。由于 $b_m \neq 0$，且 $B_2$ 是下三角矩阵（因为 $j \le m$，$k \le n-m$，当 $i$ 固定时，$k$ 最大为 $i$，但 $k$ 从 $0$ 到 $n-m$，实际上 $B_2$ 是下三角矩阵），故 $B_2$ 可逆。
提示：注意 $B_2$ 的下三角性质：当 $i$ 固定时，$k$ 的取值范围是 $0$ 到 $\min(i, n-m)$，但 $i \ge m$，所以 $k$ 最大为 $n-m$，且 $k$ 越小，$j$ 越大，但 $j$ 不超过 $m$，因此 $B_2$ 是下三角矩阵。
步骤 4/5
目标：计算系数矩阵的行列式
系数矩阵为分块上三角矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积：
$$
\det\begin{pmatrix}
I_m & B_1 \\
0 & B_2
\end{pmatrix} = \det(I_m) \cdot \det(B_2) = \det(B_2).
$$
由于 $B_2$ 可逆，$\det(B_2) \neq 0$，因此系数矩阵可逆。
公式：\det\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det(A)\det(D)
提示：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，前提是 $A$ 和 $D$ 是方阵。
步骤 5/5
目标：得出结论
系数矩阵可逆，故线性方程组有唯一解。因此，对任意 $a_0,\dots,a_n \in \mathbb{F}$，方程组有唯一解 $(x_0,\dots,x_{n-m}, y_0,\dots,y_{m-1})$。
提示：唯一解的存在性依赖于 $b_m \neq 0$，否则 $B_2$ 可能奇异。
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