四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $V_{1}, V_{2}$ 是某个线性空间的子空间，满足 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+1<\infty$ ．证明：$V_{1} \cup V_{2}$ 是子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设维数并应用维数公式
设 $\dim(V_1 \cap V_2) = k$，由已知 $\dim(V_1 + V_2) = k+1$。根据维数公式 $\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$，代入得 $k+1 = \dim V_1 + \dim V_2 - k$，即 $\dim V_1 + \dim V_2 = 2k+1$。
公式：$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$
提示：注意维数公式中各项的符号，不要漏掉减号。
步骤 2/5
目标：分析维数关系
由于 $\dim V_1 \geq k$，$\dim V_2 \geq k$（因为 $V_1 \cap V_2 \subseteq V_1, V_2$），且 $\dim V_1 + \dim V_2 = 2k+1$ 为奇数，因此 $\dim V_1$ 和 $\dim V_2$ 中必有一个等于 $k$，另一个等于 $k+1$。
提示：注意两个维数均不小于 $k$，且和为奇数，故只能是一个 $k$ 一个 $k+1$。
步骤 3/5
目标：不妨设一种情况
不妨设 $\dim V_1 = k$，$\dim V_2 = k+1$。由于 $V_1 \cap V_2 \subseteq V_1$ 且 $\dim(V_1 \cap V_2) = k = \dim V_1$，故 $V_1 \cap V_2 = V_1$，即 $V_1 \subseteq V_2$。
提示：注意子空间维数相等且包含关系推出相等，不要忘记验证包含关系。
步骤 4/5
目标：推出并集为子空间
由 $V_1 \subseteq V_2$ 得 $V_1 \cup V_2 = V_2$，而 $V_2$ 是子空间，故 $V_1 \cup V_2$ 是子空间。
提示：并集等于较大的子空间，因此是子空间。
步骤 5/5
目标：考虑另一种情况
若 $\dim V_2 = k$，$\dim V_1 = k+1$，则同理可得 $V_2 \subseteq V_1$，从而 $V_1 \cup V_2 = V_1$，也是子空间。
提示：两种情况对称，只需说明一种即可。
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