四川大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．证明：多项式 $x^{2026}+x^{2024}+x^{3}-3 x+1$ 的根不可能都是实根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法假设
假设多项式 $f(x)=x^{2026}+x^{2024}+x^{3}-3x+1$ 的所有根都是实根。
提示：注意 $f(x)$ 是奇次多项式，至少有一个实根，但假设所有根为实根。
步骤 2/5
目标：利用罗尔定理推导导数根的性质
若 $f(x)$ 的所有根都是实根，则根据罗尔定理，$f'(x)$ 的根位于 $f(x)$ 的相邻实根之间，且 $f'(x)$ 的次数比 $f(x)$ 低一次，因此 $f'(x)$ 的所有根也必须是实根。类似地，$f''(x)$ 的所有根也必须是实根。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)=0$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
提示：注意这里 $f(x)$ 是 $2026$ 次多项式，$f'(x)$ 是 $2025$ 次，$f''(x)$ 是 $2024$ 次。
步骤 3/5
目标：计算导数
计算 $f'(x)=2026x^{2025}+2024x^{2023}+3x^{2}-3$，再计算 $f''(x)=2026\cdot2025x^{2024}+2024\cdot2023x^{2022}+6x$。
公式：$f'(x)=\sum_{i} a_i x^{i-1}$，其中 $a_i$ 为系数。
提示：求导时注意系数和指数对应正确。
步骤 4/5
目标：分析 $f''(x)$ 的根
将 $f''(x)$ 因式分解：$f''(x)=x\left(2026\cdot2025x^{2023}+2024\cdot2023x^{2021}+6\right)$。令 $g(x)=2026\cdot2025x^{2023}+2024\cdot2023x^{2021}+6$。由于 $g'(x)=2026\cdot2025\cdot2023x^{2022}+2024\cdot2023\cdot2021x^{2020}\ge0$，且等号仅在 $x=0$ 时成立，但 $g(0)=6>0$，所以 $g(x)$ 严格递增。又因为 $\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$，故 $g(x)$ 有唯一实根 $x_0<0$。因此 $f''(x)$ 只有两个实根：$x=0$ 和 $x=x_0$。
公式：$g'(x)=2026\cdot2025\cdot2023x^{2022}+2024\cdot2023\cdot2021x^{2020}$
提示：注意 $g(x)$ 是奇次多项式，且导数非负，因此单调递增。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
根据罗尔定理，若 $f(x)$ 的所有根都是实根，则 $f''(x)$ 应有 $2024$ 个实根（因为 $f''(x)$ 是 $2024$ 次多项式）。但实际只找到两个实根，矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 的根不可能都是实根。
提示：注意 $f''(x)$ 的次数是 $2024$，若所有根为实，则应有 $2024$ 个实根（包括重根）。
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