大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为 $V$ 的一组基，并且这组基的度量矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 的一组标准正交基（用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 表示）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解度量矩阵与内积的关系
给定基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的度量矩阵 $A$，即内积 $(\alpha_i, \alpha_j) = a_{ij}$。因此有：
$(\alpha_1, \alpha_1)=1$, $(\alpha_1, \alpha_2)=-1$, $(\alpha_1, \alpha_3)=1$,
$(\alpha_2, \alpha_1)=-1$, $(\alpha_2, \alpha_2)=2$, $(\alpha_2, \alpha_3)=0$,
$(\alpha_3, \alpha_1)=1$, $(\alpha_3, \alpha_2)=0$, $(\alpha_3, \alpha_3)=4$。
公式：$(\alpha_i, \alpha_j) = a_{ij}$
提示：注意度量矩阵是对称的，且内积满足对称性。
步骤 2/6
目标：Gram-Schmidt正交化第一步：构造第一个正交基向量
令 $\beta_1 = \alpha_1$，则 $(\beta_1, \beta_1) = 1$，所以 $\|\beta_1\| = 1$。因此第一个标准正交基向量为 $\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \alpha_1$。
公式：$\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|}$
提示：如果第一个向量长度不为1，需要单位化。
步骤 3/6
目标：Gram-Schmidt正交化第二步：构造第二个正交基向量
计算 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \gamma_1)}{(\gamma_1, \gamma_1)} \gamma_1$。
由于 $(\alpha_2, \gamma_1) = (\alpha_2, \alpha_1) = -1$，$(\gamma_1, \gamma_1)=1$，所以 $\beta_2 = \alpha_2 - (-1)\alpha_1 = \alpha_1 + \alpha_2$。
计算长度：$(\beta_2, \beta_2) = (\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_2) = (\alpha_1,\alpha_1)+2(\alpha_1,\alpha_2)+(\alpha_2,\alpha_2) = 1 + 2(-1) + 2 = 1$。
因此 $\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \alpha_1 + \alpha_2$。
公式：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \gamma_i)}{(\gamma_i, \gamma_i)} \gamma_i$
提示：注意投影系数的计算，分子是内积，分母是模长平方。
步骤 4/6
目标：Gram-Schmidt正交化第三步：构造第三个正交基向量
计算 $\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \gamma_1)}{(\gamma_1, \gamma_1)} \gamma_1 - \frac{(\alpha_3, \gamma_2)}{(\gamma_2, \gamma_2)} \gamma_2$。
$(\alpha_3, \gamma_1) = (\alpha_3, \alpha_1) = 1$，$(\alpha_3, \gamma_2) = (\alpha_3, \alpha_1+\alpha_2) = (\alpha_3,\alpha_1)+(\alpha_3,\alpha_2) = 1+0=1$，$(\gamma_2,\gamma_2)=1$。
所以 $\beta_3 = \alpha_3 - 1\cdot\alpha_1 - 1\cdot(\alpha_1+\alpha_2) = \alpha_3 - 2\alpha_1 - \alpha_2$。
公式：同上
提示：注意减去所有已得到的正交基向量的投影。
步骤 5/6
目标：计算第三个正交基向量的长度并单位化
计算 $(\beta_3, \beta_3)$：
$(\beta_3, \beta_3) = (\alpha_3-2\alpha_1-\alpha_2, \alpha_3-2\alpha_1-\alpha_2)$
$= (\alpha_3,\alpha_3) + 4(\alpha_1,\alpha_1) + (\alpha_2,\alpha_2) -4(\alpha_3,\alpha_1) -2(\alpha_3,\alpha_2) +4(\alpha_1,\alpha_2)$
$= 4 + 4\cdot1 + 2 -4\cdot1 -2\cdot0 +4\cdot(-1) = 4+4+2-4-0-4 = 2$。
因此 $\|\beta_3\| = \sqrt{2}$，$\gamma_3 = \frac{\beta_3}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha_3 - 2\alpha_1 - \alpha_2)$。
公式：$\gamma_k = \frac{\beta_k}{\|\beta_k\|}$
提示：展开内积时注意系数和交叉项，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：写出最终的标准正交基
得到一组标准正交基为：
$\gamma_1 = \alpha_1$，
$\gamma_2 = \alpha_1 + \alpha_2$，
$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha_3 - 2\alpha_1 - \alpha_2)$。
提示：检查每个向量的模是否为1，且两两正交。
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