📝 大连理工大学 2024年高等代数真题

1．已知 $\alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \alpha_{3}=(0,3,2,1), V_{1}$ 是由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的空间，$\beta= (2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7), V_{2}$ 是由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的空间．求 $V_{1}+V_{2}$ 及 $V_{1} \cap V_{2}$ 的维数与基．

2．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为 $V$ 的一组基，并且这组基的度量矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right)
$$

求 $V$ 的一组标准正交基（用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 表示）．

3．矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)^{2}$ ，若不计若尔当块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能的若尔当标准形．

1．设 $f(x), g(x)$ 不全为零，证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\left(f^{n}(x), g^{n}(x)\right)=(f(x), g(x))^{n}$ ．

2．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为矩阵 $A_{n \times n}$ 的 $n$ 个列向量，$\beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，并且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关．证明：线性方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解．

3．设 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 为整系数多项式，并且 $(a+b) c$ 为奇数．证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约．

4．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\operatorname{Im} \mathscr{A}=\{\mathscr{A} \xi \mid \xi \in V\}, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\{\xi \mid \mathscr{A} \xi=0, \xi \in V\}$ 。证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

5．已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$ ．证明：存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．

6．设 $f(x), g(x)$ 为数域 $P$ 上的多项式，并且满足 $(f(x), g(x))=1$ ．设 $V, V_{1}, V_{2}$ 分别是 $f(A) g(A) X=0$ ， $f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 为有限维线性空间 $V$ 上的线性变换，并且 $\mathscr{A}$ 为可逆线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间．证明：若 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，则 $W$ 也是 $\mathscr{A}^{-1}$ 的不变子空间。

8．设 $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 分别是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换， $\mathscr{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值。证明： $\mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}$的充要条件是存在多项式 $f(x)$ ，使得 $\mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

1．已知 $X, Y$ 为三维列向量，$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵．
（1）（10 分）对任意的实数 $a$ ，证明：$\left|\begin{array}{cc}a & X^{T} \\ Y & A\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ ．
（2）（10 分）已知 $A$ 的所有特征值的和为 $1, A$ 的所有特征值的积为 -12 ，并且 $(1,0,-2)^{T}$ 为 $\left(A^{*}-4 E\right) X=0$ 的解．对于下列四元二次型，用正交替换化为标准形．

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
-x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
-x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
-x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
$$

2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足

$$
A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0
$$

证明：
（1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关．
（2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量．
（3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？