大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$ ．证明：存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析幂等矩阵的性质
由于 $A^2 = A$，$A$ 是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$，且 Jordan 块必为 $1$ 阶（否则 $J^2 \neq J$）。因此存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}
提示：注意幂等矩阵的 Jordan 标准形中每个 Jordan 块都是 1 阶，否则不满足幂等性。
步骤 2/5
目标：构造对称矩阵 B
令 $B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^T$。由于 $P$ 可逆，$B$ 是实对称矩阵。
公式：B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^T
提示：注意 $B$ 的对称性来源于 $P^T$ 而非 $P^{-1}$。
步骤 3/5
目标：构造正定矩阵 C
令 $C = (P^{-1})^T \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1} = (P P^T)^{-1}$。由于 $P$ 可逆，$P P^T$ 正定，其逆也正定，故 $C$ 正定。
公式：C = (P^{-1})^T \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1} = (P P^T)^{-1}
提示：正定矩阵的逆仍为正定，且 $P P^T$ 正定是因为 $P$ 可逆。
步骤 4/5
目标：验证 A = BC
计算 $BC = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^T \cdot (P^{-1})^T \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} (P^T (P^{-1})^T) \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1}$。由于 $P^T (P^{-1})^T = (P^{-1} P)^T = I$，故 $BC = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = A$。
公式：BC = A
提示：注意矩阵乘法顺序，$P^T$ 与 $(P^{-1})^T$ 相乘得单位矩阵。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ 使得 $A = BC$。
提示：构造的关键是利用 $A$ 的 Jordan 标准形和可逆矩阵 $P$ 的分解。
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