大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 为整系数多项式，并且 $(a+b) c$ 为奇数．证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析条件，得出c和a+b的奇偶性
已知$(a+b)c$为奇数，由于奇数乘以奇数得奇数，所以$c$为奇数，且$a+b$为奇数。
提示：注意：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数。
步骤 2/7
目标：假设可约，推出存在有理根
假设$f(x)$在有理数域上可约，由于$f(x)$是三次多项式，它必有一个一次因式，即存在有理根。由有理根定理，有理根必为常数项$c$的因子，即可能为$\pm 1, \pm c$（因为$c$是奇数）。
公式：有理根定理：若整系数多项式$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$有有理根$\frac{p}{q}$（既约），则$p|a_0$，$q|a_n$。
提示：注意：有理根必须是常数项的因子除以首项系数的因子，这里首项系数为1，所以有理根是常数项的因子。
步骤 3/7
目标：检验根为1的情况
若$1$是根，则$f(1)=1+a+b+c=0$，即$a+b+c=-1$。由于$c$为奇数，$a+b$为奇数，奇数+奇数=偶数，故$a+b+c$为偶数，而$-1$是奇数，矛盾。
提示：注意奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。
步骤 4/7
目标：检验根为-1的情况
若$-1$是根，则$f(-1)=-1+a-b+c=0$，即$a-b+c=1$。由于$c$为奇数，又$a+b$为奇数，所以$a$与$b$奇偶性相反，故$a-b$为奇数（奇数减偶数或偶数减奇数得奇数）。奇数+奇数=偶数，而$1$是奇数，矛盾。
提示：注意：$a+b$为奇数推出$a$与$b$奇偶性相反，从而$a-b$为奇数。
步骤 5/7
目标：检验根为c的情况
若$c$是根，则$f(c)=c^3+ac^2+bc+c=c(c^2+ac+b+1)=0$，故$c^2+ac+b+1=0$。由于$c$为奇数，$c^2$为奇数。分两种情况：
- 若$a$为奇数，则$b$为偶数（因为$a+b$为奇数），$ac$为奇数，$c^2+ac+b+1$为奇数+奇数+偶数+1=奇数，不可能为0。
- 若$a$为偶数，则$b$为奇数，$ac$为偶数，$c^2+ac+b+1$为奇数+偶数+奇数+1=奇数，同样不可能为0。
提示：注意：奇偶性分析要全面，考虑$a$的奇偶性两种情况。
步骤 6/7
目标：检验根为-c的情况
若$-c$是根，则$f(-c)=-c^3+ac^2-bc+c=c(-c^2+ac-b+1)=0$，故$-c^2+ac-b+1=0$。$c$为奇数，$c^2$为奇数，$-c^2$为奇数。同样分两种情况：
- 若$a$为奇数，则$b$为偶数，$ac$为奇数，$-c^2+ac-b+1$为奇数+奇数-偶数+1=奇数，不可能为0。
- 若$a$为偶数，则$b$为奇数，$ac$为偶数，$-c^2+ac-b+1$为奇数+偶数-奇数+1=奇数，同样不可能为0。
提示：注意：$-c^2$的奇偶性与$c^2$相同，因为负号不改变奇偶性。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于所有可能的有理根$\pm 1, \pm c$均不可能是$f(x)$的根，因此$f(x)$没有有理根，从而在有理数域上不可约。
提示：注意：三次多项式若无有理根，则必不可约。
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