大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足
$$
A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0
$$
证明：
（1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关．
（2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量．
（3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明线性无关：假设线性相关并推导矛盾
假设存在一组不全为零的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 使得 $k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_n X_n = 0$。
提示：注意假设中系数不全为零，但最终要证明所有系数为零。
步骤 2/6
目标：左乘 $A^{n-1}$ 得到 $k_1=0$
对等式两边左乘 $A^{n-1}$，利用 $A X_i = X_{i+1}$（$i=1,\dots,n-1$）和 $A X_n = 0$，得 $k_1 A^{n-1}X_1 + \cdots + k_{n-1} A^{n-1}X_{n-1} + k_n A^{n-1}X_n = 0$。由于 $A^{n-1}X_1 = X_n$，而 $A^{n-1}X_i = 0$ 对 $i \geq 2$，故 $k_1 X_n = 0$。因为 $X_n \neq 0$，所以 $k_1 = 0$。
公式：$A^{n-1}X_1 = X_n$，$A^{n-1}X_i = 0$（$i \geq 2$）
提示：注意 $A^{n-1}X_2 = A^{n-2}(A X_2) = A^{n-2}X_3 = \cdots = A X_n = 0$，类似地其他项也为零。
步骤 3/6
目标：依次左乘 $A^{n-2}, \dots, A^0$ 得到所有系数为零
类似地，对原等式左乘 $A^{n-2}$，并利用 $k_1=0$，可得 $k_2 X_n = 0$，从而 $k_2=0$。依次类推，每次左乘 $A^{n-i}$ 可得 $k_i=0$（$i=1,\dots,n$）。因此所有系数为零，$X_1,\dots,X_n$ 线性无关。
公式：$A^{n-i}X_i = X_n$，$A^{n-i}X_j = 0$（$j>i$）
提示：注意递推关系：$A^{n-i}X_i = X_n$，而 $A^{n-i}X_j$ 当 $j>i$ 时经过若干次作用后变为零。
步骤 4/6
目标：求特征值：构造矩阵表示
由 $A X_i = X_{i+1}$（$i=1,\dots,n-1$）和 $A X_n = 0$，在基 $X_1,\dots,X_n$ 下，$A$ 的矩阵为 $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}_{n \times n}$。其特征多项式为 $\det(\lambda I - J) = \lambda^n$，故特征值全为 $0$（$n$ 重）。
公式：$\det(\lambda I - J) = \lambda^n$
提示：注意 $J$ 是下三角矩阵，特征多项式容易计算。
步骤 5/6
目标：求特征向量：解齐次方程组
解 $(A - 0I)X = 0$，即 $A X = 0$。由条件 $A X_n = 0$，且 $X_n \neq 0$，故 $X_n$ 是一个特征向量。由于 $A$ 的秩为 $n-1$（因为 $J$ 的秩为 $n-1$），零空间维数为 $1$，所以所有特征向量为 $k X_n$，其中 $k \neq 0$。
公式：$A X = 0$ 的解空间维数为 $1$
提示：注意特征向量不能为零向量，且 $k$ 为非零常数。
步骤 6/6
目标：判断是否可对角化
$A$ 不能对角化。因为若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$ 为对角矩阵。由于特征值全为 $0$，则 $\Lambda = 0$，从而 $A = 0$。但由条件 $A X_1 = X_2 \neq 0$（因为 $X_1, X_2$ 线性无关），矛盾。或者从若尔当标准形看，$A$ 的若尔当块 $J$ 不是对角矩阵，故不可对角化。
提示：注意特征值全为零时，若可对角化则矩阵必为零矩阵。
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