大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)^{2}$ ，若不计若尔当块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能的若尔当标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特征多项式，确定特征值及其代数重数
给定特征多项式 $f(\lambda) = (\lambda-2)^3(\lambda-3)^2$，可知特征值 $\lambda_1=2$ 的代数重数为 $3$，特征值 $\lambda_2=3$ 的代数重数为 $2$。
提示：注意特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，其根为特征值，重数为代数重数。
步骤 2/5
目标：确定特征值2的若尔当块可能结构
特征值 $2$ 的代数重数为 $3$，其若尔当块的大小之和为 $3$。可能的整数分拆有：$3=3$（一个3阶块），$3=2+1$（一个2阶块和一个1阶块），$3=1+1+1$（三个1阶块）。对应的若尔当块分别为 $J_3(2)$，$J_2(2)\oplus J_1(2)$，$\operatorname{diag}(2,2,2)$。
提示：整数分拆不考虑顺序，但若尔当块大小之和必须等于代数重数。
步骤 3/5
目标：确定特征值3的若尔当块可能结构
特征值 $3$ 的代数重数为 $2$，可能的整数分拆有：$2=2$（一个2阶块），$2=1+1$（两个1阶块）。对应的若尔当块分别为 $J_2(3)$，$\operatorname{diag}(3,3)$。
提示：同样，分拆之和等于代数重数。
步骤 4/5
目标：组合特征值2和3的若尔当块，列出所有可能的若尔当标准形
将特征值 $2$ 的三种可能结构与特征值 $3$ 的两种可能结构组合，得到 $3 \times 2 = 6$ 种若尔当标准形（不计若尔当块的排列顺序）：
1. $\operatorname{diag}(J_3(2), J_2(3))$；
2. $\operatorname{diag}(J_3(2), 3, 3)$；
3. $\operatorname{diag}(J_2(2), J_1(2), J_2(3))$；
4. $\operatorname{diag}(J_2(2), J_1(2), 3, 3)$；
5. $\operatorname{diag}(2,2,2, J_2(3))$；
6. $\operatorname{diag}(2,2,2,3,3)$。
提示：注意若尔当块顺序不计，但通常按特征值分组，同一特征值的块按阶数从大到小排列。
步骤 5/5
目标：验证所有可能的标准形是否满足特征多项式
每个标准形的特征多项式均为 $(\lambda-2)^3(\lambda-3)^2$，因为若尔当块的特征多项式是 $(\lambda-\lambda_i)^{\text{块大小}}$，乘积即为整体特征多项式。例如，$J_3(2)$ 的特征多项式为 $(\lambda-2)^3$，$J_2(3)$ 的特征多项式为 $(\lambda-3)^2$，组合后符合。
提示：若尔当标准形的特征多项式只取决于特征值及其代数重数，与若尔当块的具体结构无关。
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