大连理工大学 2024年高等代数第0题

设 $A$ 为 $3 \times 3$ 实对称矩阵，$X, Y$ 为三维列向量。考虑分块矩阵的行列式： $$ \begin{vmatrix} a & X^T \\ Y & A \end{vmatrix} $$ 利用分块矩阵的行列式公式：若 $A$ 可逆，则 $$ \begin{vmatrix} a & X^T \\ Y & A \end{vmatrix} = |A| (a - X^T A^{-1} Y). $$ 由于 $A$ 是实对称矩阵，$A^* = |A| A^{-1}$（当 $A$ 可逆时），所以 $X^T A^{-1} Y = \frac{1}{|A|} X^T A^* Y$。代入得 $$ \begin{vmatrix} a & X^T \\ Y & A \end{vmatrix} = |A| \left( a - \frac{1}{|A|} X^T A^* Y \right) = a|A| - X^T A^* Y. $$ 若 $A$ 不可逆，则 $|A|=0$，且 $A^*$ 可能非零。此时等式右边为 $a \cdot 0 - X^T A^* Y = -X^T A^* Y$。左边行列式可通过连续性或直接计算验证。因此等式对任意实数 $a$ 成立。

已知 $A$ 的特征值之和为 $1$，积为 $-12$，且 $(1,0,-2)^T$ 是 $(A^*-4E)X=0$ 的解。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则 $$ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1, \quad \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = -12. $$ 由 $(A^*-4E)X=0$ 得 $A^* X = 4X$，即 $X$ 是 $A^*$ 属于特征值 $4$ 的特征向量。由于 $A^*$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda_i}$（若 $\lambda_i \neq 0$），且 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = -12$，所以 $\frac{-12}{\lambda_i} = 4$ 对某个 $i$ 成立，解得 $\lambda_i = -3$。 设 $\lambda_1 = -3$，则 $\lambda_2 + \lambda_3 = 4$，$\lambda_2 \lambda_3 = 4$（因为 $(-3)\lambda_2\lambda_3 = -12$）。解得 $\lambda_2 = \lambda_3 = 2$。 因此 $A$ 的特征值为 $-3, 2, 2$。

考虑二次型 $$ f(x_1, x_2, x_3, x_4) = \begin{vmatrix} x_1^2 & x_2 & x_3 & x_4 \\ -x_2 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ -x_3 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ -x_4 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}. $$ 利用第一题结论，将 $a$ 视为 $x_1^2$，$X^T = (x_2, x_3, x_4)$，$Y = (-x_2, -x_3, -x_4)^T$，则 $$ f = x_1^2 |A| - X^T A^* Y = -12 x_1^2 - X^T A^* Y. $$ 由于 $Y = -X$，所以 $X^T A^* Y = -X^T A^* X$，故 $$ f = -12 x_1^2 + X^T A^* X. $$ 其中 $X = (x_2, x_3, x_4)^T$。

$A^*$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda_i}$：对应 $\lambda=-3$ 得 $\frac{-12}{-3}=4$，对应 $\lambda=2$ 得 $\frac{-12}{2}=-6$。所以 $A^*$ 的特征值为 $4, -6, -6$。

存在正交变换 $X = Q \begin{pmatrix} y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ 使得 $$ X^T A^* X = 4 y_2^2 - 6 y_3^2 - 6 y_4^2. $$ 令 $y_1 = x_1$，则二次型化为 $$ f = -12 y_1^2 + 4 y_2^2 - 6 y_3^2 - 6 y_4^2. $$ 即标准形为 $-12 y_1^2 + 4 y_2^2 - 6 y_3^2 - 6 y_4^2$。