大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为矩阵 $A_{n \times n}$ 的 $n$ 个列向量，$\beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，并且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关．证明：线性方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程组表示为矩阵形式
设矩阵 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，即 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$。则 $\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = A(1,1,\dots,1)^T$。
公式：$\beta = A(1,1,\dots,1)^T$
提示：注意列向量与矩阵乘法的对应关系。
步骤 2/6
目标：找到非齐次方程组的一个特解
由 $\beta = A(1,1,\dots,1)^T$ 可知，$X_0 = (1,1,\dots,1)^T$ 是 $AX=\beta$ 的一个特解。
提示：特解不唯一，但此处直接观察得到。
步骤 3/6
目标：利用线性相关条件构造齐次方程的非零解
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$ 线性相关，存在不全为零的数 $k_1, k_2, \dots, k_{n-1}$ 使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_{n-1}\alpha_{n-1} = 0$。令 $\xi = (k_1, k_2, \dots, k_{n-1}, 0)^T$，则 $A\xi = 0$，且 $\xi \neq 0$。
公式：$k_1\alpha_1 + \cdots + k_{n-1}\alpha_{n-1}=0$
提示：注意 $\xi$ 的最后一个分量为0，因为条件只涉及前n-1个列向量。
步骤 4/6
目标：说明齐次方程组有非零解
由 $A\xi = 0$ 且 $\xi \neq 0$ 可知，齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解，因此解空间维数至少为1。
提示：非零解的存在意味着系数矩阵的秩小于n。
步骤 5/6
目标：推导非齐次方程组的解结构
非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 的解集为 $X_0 + \ker A$，其中 $\ker A$ 是齐次方程的解空间。由于 $\ker A$ 包含所有形如 $t\xi$（$t \in \mathbb{R}$）的向量，且 $\xi \neq 0$，故 $\ker A$ 是无穷集。
公式：$AX=\beta$ 的解集为 $X_0 + \ker A$
提示：注意解的结构：特解加上齐次解。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，线性方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解。
提示：无穷多解的条件是齐次方程组有非零解。
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