大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $f(x), g(x)$ 为数域 $P$ 上的多项式，并且满足 $(f(x), g(x))=1$ ．设 $V, V_{1}, V_{2}$ 分别是 $f(A) g(A) X=0$ ， $f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $(f(x), g(x)) = 1$。设 $V$ 是 $f(A)g(A)X=0$ 的解空间，$V_1$ 是 $f(A)X=0$ 的解空间，$V_2$ 是 $g(A)X=0$ 的解空间。需要证明 $V = V_1 \oplus V_2$，即 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意区分解空间的定义：$V$ 中的向量满足 $f(A)g(A)\alpha=0$，$V_1$ 满足 $f(A)\alpha=0$，$V_2$ 满足 $g(A)\alpha=0$。
步骤 2/6
目标：利用互素条件得到多项式恒等式
由于 $(f(x), g(x)) = 1$，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。将 $A$ 代入得 $u(A)f(A) + v(A)g(A) = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。
公式：u(A)f(A) + v(A)g(A) = I
提示：注意多项式代入矩阵时，常数项变为单位矩阵的倍数。
步骤 3/6
目标：证明 $V \subseteq V_1 + V_2$
任取 $\alpha \in V$，即 $f(A)g(A)\alpha = 0$。由恒等式得 $\alpha = I\alpha = u(A)f(A)\alpha + v(A)g(A)\alpha$。令 $\alpha_1 = v(A)g(A)\alpha$，$\alpha_2 = u(A)f(A)\alpha$。则 $f(A)\alpha_1 = f(A)v(A)g(A)\alpha = v(A)f(A)g(A)\alpha = 0$，故 $\alpha_1 \in V_1$。同理 $g(A)\alpha_2 = g(A)u(A)f(A)\alpha = u(A)f(A)g(A)\alpha = 0$，故 $\alpha_2 \in V_2$。因此 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \in V_1 + V_2$。
公式：\alpha = u(A)f(A)\alpha + v(A)g(A)\alpha
提示：注意 $f(A)$ 与 $g(A)$ 可交换，因为它们是同一个矩阵 $A$ 的多项式。
步骤 4/6
目标：证明 $V_1 + V_2 \subseteq V$
任取 $\alpha_1 \in V_1$，$\alpha_2 \in V_2$，则 $f(A)\alpha_1 = 0$，$g(A)\alpha_2 = 0$。考虑 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$，则 $f(A)g(A)\alpha = f(A)g(A)\alpha_1 + f(A)g(A)\alpha_2 = g(A)f(A)\alpha_1 + f(A)g(A)\alpha_2 = 0 + 0 = 0$，故 $\alpha \in V$。因此 $V_1 + V_2 \subseteq V$。
提示：注意 $f(A)g(A) = g(A)f(A)$，因为多项式乘法可交换。
步骤 5/6
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $f(A)\alpha = 0$ 且 $g(A)\alpha = 0$。由恒等式 $u(A)f(A) + v(A)g(A) = I$ 得 $\alpha = I\alpha = u(A)f(A)\alpha + v(A)g(A)\alpha = 0 + 0 = 0$。故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：\alpha = u(A)f(A)\alpha + v(A)g(A)\alpha
提示：注意这里直接代入 $\alpha$ 即可，无需额外条件。
步骤 6/6
目标：总结结论
由 $V = V_1 + V_2$ 和 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 知 $V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和的定义要求两个子空间的和是直和当且仅当交为零空间。
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