大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $f(x), g(x)$ 不全为零，证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\left(f^{n}(x), g^{n}(x)\right)=(f(x), g(x))^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入最大公因式并写出其线性组合
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，由于 $f(x), g(x)$ 不全为零，$d(x)$ 是首一多项式。由最大公因式的性质，存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。
公式：d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)
提示：注意 $d(x)$ 是首一多项式，且 $u(x), v(x)$ 的存在性由辗转相除法保证。
步骤 2/6
目标：证明 $d^n(x)$ 是 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$ 的公因式
因为 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid g(x)$，所以 $d^n(x) \mid f^n(x)$ 且 $d^n(x) \mid g^n(x)$。因此 $d^n(x)$ 是 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$ 的一个公因式。
提示：注意整除关系的幂次传递：若 $d \mid f$，则 $d^n \mid f^n$。
步骤 3/6
目标：考虑任意公因式 $h(x)$ 的不可约因子
设 $h(x)$ 是 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$ 的任一公因式，则 $h(x)$ 的每个不可约因子 $p(x)$ 必整除 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$。由于 $p(x)$ 不可约，$p(x) \mid f^n(x)$ 推出 $p(x) \mid f(x)$，同理 $p(x) \mid g(x)$。因此 $p(x) \mid d(x)$。
提示：不可约多项式整除幂次时必整除原多项式，这是多项式因式分解的基本性质。
步骤 4/6
目标：分析 $p(x)$ 在 $d(x)$ 和 $d^n(x)$ 中的重数
设 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数为 $a$，在 $g(x)$ 中的重数为 $b$，则 $p(x)$ 在 $d(x)$ 中的重数为 $k = \min(a, b)$。那么 $p(x)$ 在 $f^n(x)$ 中的重数为 $na$，在 $g^n(x)$ 中的重数为 $nb$。由于 $h(x)$ 整除 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$，$p(x)$ 在 $h(x)$ 中的重数不超过 $\min(na, nb) = n \min(a, b) = nk$。而 $p(x)$ 在 $d^n(x)$ 中的重数恰好为 $nk$。
公式：k = \min(a, b), \quad \text{重数关系: } \min(na, nb) = n \min(a, b)
提示：注意重数的比较：公因式的重数不能超过每个因式中重数的最小值。
步骤 5/6
目标：推出 $h(x)$ 整除 $d^n(x)$
由上述分析，对于 $h(x)$ 的每个不可约因子 $p(x)$，其在 $h(x)$ 中的重数不超过其在 $d^n(x)$ 中的重数，因此 $h(x) \mid d^n(x)$。
提示：这一步需要利用因式分解的唯一性，即每个不可约因子的重数都满足整除关系。
步骤 6/6
目标：总结最大公因式相等
由于 $d^n(x)$ 是 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$ 的公因式，且任意公因式 $h(x)$ 都整除 $d^n(x)$，因此 $d^n(x)$ 是 $f^n(x)$ 和 $g^n(x)$ 的最大公因式，即 $(f^n(x), g^n(x)) = d^n(x) = (f(x), g(x))^n$。
公式：(f^n(x), g^n(x)) = (f(x), g(x))^n
提示：注意最大公因式的定义：既是公因式，又能被所有公因式整除。
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