大连理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 分别是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换， $\mathscr{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值。证明： $\mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}$的充要条件是存在多项式 $f(x)$ ，使得 $\mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：必要性：利用特征向量推导关系
设 $\mathscr{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，它们构成 $V$ 的一组基。由 $\mathscr{A}\mathscr{B} = \mathscr{B}\mathscr{A}$，对每个 $\alpha_i$，有 $\mathscr{A}\mathscr{B}(\alpha_i) = \mathscr{B}\mathscr{A}(\alpha_i) = \lambda_i \mathscr{B}(\alpha_i)$，即 $\mathscr{B}(\alpha_i)$ 也是 $\mathscr{A}$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。由于特征值互异，特征子空间是一维的，故存在 $\mu_i \in \mathbb{F}$ 使得 $\mathscr{B}(\alpha_i) = \mu_i \alpha_i$。
公式：$\mathscr{A}\mathscr{B}(\alpha_i) = \lambda_i \mathscr{B}(\alpha_i)$
提示：注意特征值互异保证特征子空间一维，从而 $\mathscr{B}(\alpha_i)$ 与 $\alpha_i$ 共线。
步骤 2/4
目标：必要性：构造插值多项式
考虑插值多项式 $f(x)$ 满足 $f(\lambda_i) = \mu_i$（$i=1,\dots,n$），由拉格朗日插值公式，存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$。于是对每个 $\alpha_i$，$f(\mathscr{A})(\alpha_i) = f(\lambda_i)\alpha_i = \mu_i \alpha_i = \mathscr{B}(\alpha_i)$。由于 $\{\alpha_i\}$ 是基，故 $\mathscr{B} = f(\mathscr{A})$。
公式：$f(\lambda_i) = \mu_i$
提示：拉格朗日插值多项式存在唯一，次数不超过 $n-1$。
步骤 3/4
目标：充分性：直接验证
若存在多项式 $f(x)$ 使得 $\mathscr{B} = f(\mathscr{A})$，则 $\mathscr{A}\mathscr{B} = \mathscr{A}f(\mathscr{A}) = f(\mathscr{A})\mathscr{A} = \mathscr{B}\mathscr{A}$，显然成立。
公式：$\mathscr{A}f(\mathscr{A}) = f(\mathscr{A})\mathscr{A}$
提示：多项式与线性变换可交换，因为 $\mathscr{A}$ 与自身可交换。
步骤 4/4
目标：结论总结
因此，$\mathscr{A}\mathscr{B} = \mathscr{B}\mathscr{A}$ 的充要条件是存在多项式 $f(x)$ 使得 $\mathscr{B} = f(\mathscr{A})$。
提示：注意必要性中特征值互异的条件不可少。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。