大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．计算行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & x_{4}^{2} \\
x_{1}^{4} & x_{2}^{4} & x_{3}^{4} & x_{4}^{4}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别行列式结构
观察行列式：第一行全为1，第二行为$x_1,x_2,x_3,x_4$，第三行为$x_1^2,x_2^2,x_3^2,x_4^2$，第四行为$x_1^4,x_2^4,x_3^4,x_4^4$。它类似于范德蒙德行列式，但缺少了$x^3$行。
提示：注意行指数跳跃：0,1,2,4，缺少3。
步骤 2/6
目标：构造辅助多项式
考虑5阶行列式
$$f(t)=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\x_1&x_2&x_3&x_4&t\\x_1^2&x_2^2&x_3^2&x_4^2&t^2\\x_1^3&x_2^3&x_3^3&x_4^3&t^3\\x_1^4&x_2^4&x_3^4&x_4^4&t^4\end{vmatrix},$$
这是关于$t$的4次多项式。当$t=x_i$时，第2列与第5列相同，故$f(x_i)=0$。
提示：注意行列式两列相同值为0。
步骤 3/6
目标：因式分解多项式
由于$f(t)$是4次多项式且有4个根$x_1,x_2,x_3,x_4$，可设
$$f(t)=C\prod_{i=1}^4(t-x_i),$$
其中$C$为常数。
公式：f(t)=C∏(t-x_i)
提示：多项式次数与根个数相等时，可完全因式分解。
步骤 4/6
目标：按最后一列展开
将$f(t)$按最后一列展开，得
$$f(t)=\sum_{k=0}^4(-1)^{k+5}M_{k5}\cdot t^k,$$
其中$M_{k5}$是去掉第$k+1$行和第5列的余子式。$t^4$项系数来自$k=4$：$(-1)^9M_{45}=-M_{45}$。而$M_{45}$是去掉第5行第5列后的4阶行列式，正是原行列式$D$。所以
$$f(t)=-D\cdot t^4+\text{低次项}.$$
公式：f(t)=-D t^4 + ...
提示：注意符号：(-1)^(4+5)=(-1)^9=-1。
步骤 5/6
目标：计算常数C
另一方面，$f(t)$也是5阶范德蒙德行列式，其值为
$$f(t)=\prod_{1\le i
公式：f(t)=V·∏(t-x_i)
提示：范德蒙德行列式公式：∏_{i
步骤 6/6
目标：比较系数得结果
比较$f(t)$中$t^4$的系数：左边为$-D$，右边为$\prod_{1\le i
公式：D = -∏_{i
提示：注意负号。
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