📝 大连理工大学 2026年高等代数真题

1．计算行列式

$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & x_{4}^{2} \\
x_{1}^{4} & x_{2}^{4} & x_{3}^{4} & x_{4}^{4}
\end{array}\right|
$$

2．用正交线性替换化二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-3 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}
$$

为标准形．

3．若矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & & & \\
& 2 & 2 & & \\
& & 3 & \ddots & \\
& & & \ddots & n-1 \\
& & & & n
\end{array}\right)
$$

的若尔当标准形 $J$ ．

1．证明方程组 $A X=\beta$ 有解的充要条件是 $\binom{A^{\mathrm{T}}}{\beta^{\mathrm{T}}} X=\binom{0}{1}$ 无解．

2．证明 $f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}-3 x+8$ 在有理数域上不可约．

3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．

4．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 为 $V$ 中线性无关的向量，$\beta_{1}, \beta_{2} \in V$ 与 $\alpha_{i}(1 \leq i \leq n-1)$正交，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

5．设 $\mathscr{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：

$$
\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+2}=\cdots
$$

6．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于迹．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathscr{A}$ 存在 $n$ 个不同的特征值，证明： $\mathscr{A}$ 有且仅有 $2^{n}$ 个不变子空间。

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，证明：存在多项式 $f(x)$ ，使得 $f(A)=A^{-1}, f(B)=B^{-1}$ ．

1．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\min \{i, j\}, 1 \leq i, j \leq n$ ．
（1）计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式．
（2）证明：$A$ 正定．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\operatorname{Hom}(V)$ 表示 $V$ 上所有线性变换构成的线性空间．任取 $\mathscr{A} \in \operatorname{Hom}(V)$ ．
（1）令 $C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in \operatorname{Hom}(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$C(\mathscr{A})$ 是 $\operatorname{Hom}(V)$ 的子空间．
（2）设 $\mathscr{A}$ 在 $P$ 中有 $n$ 个不同的特征值，求 $C(\mathscr{A})$ 的维数和一组基．
（3）写出 $\operatorname{Hom}(V)$ 上的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\operatorname{Ker} \sigma=C(\mathscr{A})$ ．