大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵结构
已知 $a<0$，$X$ 是 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵。矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B \end{pmatrix}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。目标是证明 $A$ 的正惯性指数为 $n-1$，即 $A$ 有 $n-1$ 个正特征值（合同意义下）。
提示：注意 $B$ 正定意味着 $B$ 的所有特征值大于0，且 $B$ 可逆。
步骤 2/6
目标：构造合同变换消去 $X$
由于 $B$ 正定，$B^{-1}$ 存在。构造矩阵 $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -B^{-1}X & I_{n-1} \end{pmatrix}$，其中 $I_{n-1}$ 是 $n-1$ 阶单位矩阵。计算 $Q^T A Q$：
首先，$Q^T = \begin{pmatrix} 1 & -X^T B^{-1} \\ 0 & I_{n-1} \end{pmatrix}$。
则 $Q^T A Q = \begin{pmatrix} 1 & -X^T B^{-1} \\ 0 & I_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & X^T \\ X & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -B^{-1}X & I_{n-1} \end{pmatrix}$。
公式：$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -B^{-1}X & I_{n-1} \end{pmatrix}$
提示：注意 $Q$ 是可逆的，因为它是下三角矩阵且对角元非零。
步骤 3/6
目标：计算 $Q^T A Q$ 的左上角元素
先计算 $A Q = \begin{pmatrix} a & X^T \\ X & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -B^{-1}X & I_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & X^T \\ X - B B^{-1} X & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & X^T \\ 0 & B \end{pmatrix}$。
再左乘 $Q^T$：
$Q^T (A Q) = \begin{pmatrix} 1 & -X^T B^{-1} \\ 0 & I_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & X^T \\ 0 & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & X^T - X^T B^{-1} B \\ 0 & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$。
因此 $Q^T A Q = \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$。
公式：$Q^T A Q = \begin{pmatrix} a - X^T B^{-1} X & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$
提示：计算时注意矩阵乘法的顺序，确保 $B B^{-1} = I$。
步骤 4/6
目标：分析对角块的正负性
由于 $B$ 正定，$B^{-1}$ 也正定，因此对任意非零向量 $X$，有 $X^T B^{-1} X > 0$；若 $X=0$，则 $X^T B^{-1} X = 0$。又已知 $a < 0$，所以 $a - X^T B^{-1} X < 0$。因此左上角元素是负数。而 $B$ 是正定矩阵，其所有特征值大于0，故 $B$ 的正惯性指数为 $n-1$。
提示：注意 $X^T B^{-1} X \geq 0$，等号成立当且仅当 $X=0$。
步骤 5/6
目标：确定合同矩阵的惯性指数
矩阵 $Q^T A Q$ 是分块对角矩阵，其惯性指数由对角块决定。左上角 $1 \times 1$ 块为负数，贡献一个负惯性指数；右下角 $B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，贡献 $n-1$ 个正惯性指数。因此 $Q^T A Q$ 的正惯性指数为 $n-1$，负惯性指数为 $1$。
提示：惯性指数包括正惯性指数和负惯性指数，零不计入。
步骤 6/6
目标：利用合同变换不变性得出结论
合同变换不改变实对称矩阵的惯性指数（Sylvester惯性定律）。由于 $Q$ 可逆，$A$ 与 $Q^T A Q$ 合同，因此 $A$ 的正惯性指数等于 $Q^T A Q$ 的正惯性指数，即 $n-1$。
提示：Sylvester惯性定律：合同变换保持正、负惯性指数不变。
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