大连理工大学 2026年高等代数第0题

设$A$的特征多项式为$\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0$，其中$a_0=(-1)^n\det A\neq 0$。由Cayley-Hamilton定理，$\chi_A(A)=0$，即$A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots+a_1A+a_0I=0$。两边右乘$A^{-1}$得$A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_1I+a_0A^{-1}=0$，所以$A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_1I)$。令$f_1(x)=-\frac{1}{a_0}(x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1)$，则$f_1(A)=A^{-1}$。

对$B$，类似地存在多项式$g(x)$使得$g(B)=B^{-1}$。但我们需要同一个多项式同时满足$A$和$B$，因此需要进一步构造。

设$\mu_A(x)$为$A$的极小多项式，则$\mu_A(A)=0$且常数项非零（因为$A$可逆）。对任意多项式$t(x)$，令$f(x)=f_1(x)+\mu_A(x)t(x)$，则$f(A)=f_1(A)+\mu_A(A)t(A)=A^{-1}+0=A^{-1}$。因此$f$在$A$处满足要求。

我们需要$f(B)=f_1(B)+\mu_A(B)t(B)=B^{-1}$，即$\mu_A(B)t(B)=B^{-1}-f_1(B)$。由于$B$可逆且$\mu_A(x)$常数项非零，$\mu_A(B)$可逆，其逆是$B$的多项式（因为$B$的极小多项式常数项非零，可表示为$B$的多项式）。令$w(B)=B^{-1}-f_1(B)$，则存在多项式$s(x)$使得$s(B)=\mu_A(B)^{-1}$，取$t(x)=s(x)w(x)$，则$t(B)=\mu_A(B)^{-1}w(B)$，从而$\mu_A(B)t(B)=w(B)$，即$f(B)=B^{-1}$。

取$f(x)=f_1(x)+\mu_A(x)t(x)$，其中$t(x)$如上构造，则$f(A)=A^{-1}$且$f(B)=B^{-1}$。因此存在多项式$f(x)$同时满足条件。