大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 为 $V$ 中线性无关的向量，$\beta_{1}, \beta_{2} \in V$ 与 $\alpha_{i}(1 \leq i \leq n-1)$正交，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造子空间W
令 $W = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}\}$，即由 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$ 张成的子空间。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$ 线性无关，故 $\dim W = n-1$。
提示：注意线性无关向量张成的子空间维数等于向量个数。
步骤 2/4
目标：确定β1, β2属于正交补
由题意，$\beta_1, \beta_2$ 与每个 $\alpha_i$ 正交，即对任意 $i=1,\dots,n-1$ 有 $\langle \beta_1, \alpha_i \rangle = 0$ 且 $\langle \beta_2, \alpha_i \rangle = 0$。因此 $\beta_1, \beta_2$ 与 $W$ 中所有向量正交，故 $\beta_1, \beta_2 \in W^\perp$。
公式：$\langle \beta, \alpha_i \rangle = 0$ 对 $i=1,\dots,n-1$
提示：正交补的定义：$W^\perp = \{ v \in V \mid \langle v, w \rangle = 0, \forall w \in W \}$。
步骤 3/4
目标：计算正交补的维数
在欧氏空间中，子空间 $W$ 的正交补 $W^\perp$ 满足 $\dim W^\perp = n - \dim W$。已知 $\dim V = n$，$\dim W = n-1$，所以 $\dim W^\perp = n - (n-1) = 1$。
公式：$\dim W^\perp = \dim V - \dim W$
提示：该公式成立的前提是 $V$ 是有限维内积空间。
步骤 4/4
目标：由维数推出线性相关
由于 $\dim W^\perp = 1$，$W^\perp$ 是一维子空间。一维子空间中任意两个向量必线性相关。因为 $\beta_1, \beta_2 \in W^\perp$，所以 $\beta_1, \beta_2$ 线性相关。
提示：一维空间中任意两个向量成比例，即存在不全为零的系数使得线性组合为零。
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