大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．用正交线性替换化二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-3 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}
$$
为标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = -3x_2^2 -3x_3^2 -4x_1x_2 +4x_1x_3 +8x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ 对应矩阵 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}=a_{ji}$。
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/8
目标：求特征多项式
计算特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & -2 \\ 2 & \lambda+3 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda+3 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$\lambda \begin{vmatrix} \lambda+3 & -4 \\ -4 & \lambda+3 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -2 & \lambda+3 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 2 & \lambda+3 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}$。计算各行列式：$\lambda[(\lambda+3)^2 -16] -2[2(\lambda+3)-8] -2[-8 -(-2)(\lambda+3)] = \lambda(\lambda^2+6\lambda+9-16) -2(2\lambda+6-8) -2(-8+2\lambda+6) = \lambda(\lambda^2+6\lambda-7) -2(2\lambda-2) -2(2\lambda-2) = \lambda^3+6\lambda^2-7\lambda -8\lambda+8 = \lambda^3+6\lambda^2-15\lambda+8$。因式分解得 $(\lambda-1)(\lambda+5)^2=0$。
公式：$|\lambda E - A|=0$ 为特征方程。
提示：行列式计算要仔细，因式分解时可试根 $\lambda=1$。
步骤 3/8
目标：求特征值
由特征多项式 $(\lambda-1)(\lambda+5)^2=0$ 得特征值 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=\lambda_3=-5$。
提示：注意重根情况。
步骤 4/8
目标：求特征值1的特征向量
解 $(E-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$。行变换化为 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得 $x_1 = -2x_2+2x_3$。基础解系可取 $\alpha_1=(-2,1,0)^T$，$\alpha_2=(2,0,1)^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda_i E - A)x=0$。
提示：基础解系不唯一，但需线性无关。
步骤 5/8
目标：正交化特征向量（特征值1）
使用施密特正交化：$\beta_1 = \alpha_1 = (-2,1,0)^T$。计算 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1$。内积 $(\alpha_2,\beta_1)=2\times(-2)+0\times1+1\times0=-4$，$(\beta_1,\beta_1)=(-2)^2+1^2+0^2=5$，所以 $\beta_2 = (2,0,1)^T - \frac{-4}{5}(-2,1,0)^T = (2-\frac{8}{5}, 0+\frac{4}{5}, 1-0)^T = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, 1)^T$。
公式：施密特正交化：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)} \beta_i$。
提示：注意内积计算和分数运算。
步骤 6/8
目标：单位化特征向量
单位化 $\beta_1$：$\|\beta_1\| = \sqrt{5}$，$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^T$。单位化 $\beta_2$：$\|\beta_2\| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2+(\frac{4}{5})^2+1^2} = \sqrt{\frac{4}{25}+\frac{16}{25}+1} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\gamma_2 = \frac{1}{\|\beta_2\|} \beta_2 = \frac{5}{3\sqrt{5}}(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1)^T = (\frac{2}{3\sqrt{5}}, \frac{4}{3\sqrt{5}}, \frac{5}{3\sqrt{5}})^T = (\frac{2}{\sqrt{45}}, \frac{4}{\sqrt{45}}, \frac{5}{\sqrt{45}})^T$。
公式：单位化：$\gamma = \frac{\beta}{\|\beta\|}$。
提示：分母有理化可保留根号形式。
步骤 7/8
目标：求特征值-5的特征向量并单位化
解 $(-5E-A)x=0$：$\begin{pmatrix} -5 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -4 \\ -2 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$。行变换：第一行除以-1得 $\begin{pmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & -4 \\ -2 & -4 & -2 \end{pmatrix}$，然后 $R2-\frac{2}{5}R1$，$R3+\frac{2}{5}R1$ 等，最终化为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得 $x_1 = -x_3, x_2 = -x_3$，基础解系 $\alpha_3 = (-1,-1,1)^T$。单位化：$\|\alpha_3\| = \sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$，$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1)^T$。
提示：注意重根的特征向量只需一个，且与前面正交（自动满足）。
步骤 8/8
目标：构造正交变换矩阵并写出标准形
正交变换矩阵 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{45}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{\sqrt{45}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{45}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。令 $X=QY$，则二次型化为标准形 $f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = y_1^2 -5y_2^2 -5y_3^2$。
公式：正交变换下二次型化为 $\sum \lambda_i y_i^2$。
提示：注意特征值顺序与特征向量列对应。
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