大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $\mathscr{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：
$$
\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+2}=\cdots
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立子空间链
考虑线性变换 $\mathscr{A}$ 的像的序列：$\operatorname{Im} \mathscr{A} \supseteq \operatorname{Im} \mathscr{A}^2 \supseteq \cdots \supseteq \operatorname{Im} \mathscr{A}^k \supseteq \cdots$。由于 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1} = \mathscr{A}(\operatorname{Im} \mathscr{A}^k) \subseteq \operatorname{Im} \mathscr{A}^k$，所以这是一个递减的子空间链。
公式：$\operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1} = \mathscr{A}(\operatorname{Im} \mathscr{A}^k) \subseteq \operatorname{Im} \mathscr{A}^k$
提示：注意像的包含关系是由线性变换的定义自然得到的。
步骤 2/4
目标：利用维数有限性找到稳定点
由于 $V$ 是 $n$ 维的，每个 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^k$ 是子空间，其维数是非负整数且递减，因此存在最小的非负整数 $m$ 使得 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^m = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m+1}$。因为维数最多下降 $n$ 次，所以 $m \leq n$。
公式：$\dim \operatorname{Im} \mathscr{A}^k \geq \dim \operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1} \geq 0$
提示：注意维数递减但不会无限下降，因为维数是非负整数。
步骤 3/4
目标：证明稳定后所有更高次幂像相等
断言：若 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^m = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m+1}$，则对任意 $k \geq m$，有 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^k = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1}$。用归纳法证明：当 $k=m$ 时成立。假设对某个 $k \geq m$ 有 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^k = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1}$，则 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1} = \mathscr{A}(\operatorname{Im} \mathscr{A}^k) = \mathscr{A}(\operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1}) = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+2}$，因此 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1} = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+2}$。由归纳法，对所有 $k \geq m$ 成立。
公式：$\operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1} = \mathscr{A}(\operatorname{Im} \mathscr{A}^k)$
提示：归纳步骤中关键是用 $\mathscr{A}$ 作用在等式两边。
步骤 4/4
目标：取 m=n 得到结论
由于 $m \leq n$，特别地取 $m=n$，则 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^n = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1}$，由断言知对所有 $k \geq n$ 有 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^k = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{k+1}$，从而 $\operatorname{Im} \mathscr{A}^n = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1} = \operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+2} = \cdots$。
提示：注意 $m$ 可能小于 $n$，但结论对 $n$ 也成立。
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