大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于迹．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定特征值范围
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x}$，则 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$。由 $A^2 = A$ 得 $A^2\mathbf{x} = A\mathbf{x}$，即 $\lambda^2\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$，所以 $(\lambda^2 - \lambda)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，故 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
公式：$A^2 = A \Rightarrow \lambda^2 = \lambda$
提示：注意特征向量非零，才能得到特征方程。
步骤 2/5
目标：计算迹
设 $A$ 的特征值 $1$ 的代数重数为 $r$，特征值 $0$ 的代数重数为 $n-r$。则迹 $\operatorname{tr}(A)$ 等于所有特征值之和，即 $\operatorname{tr}(A) = r \cdot 1 + (n-r) \cdot 0 = r$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i$
提示：迹等于特征值之和，与特征值顺序无关。
步骤 3/5
目标：证明可对角化
幂等矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda(\lambda-1)$，无重根，因此 $A$ 可对角化。存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$，其中 $1$ 的个数为 $r$。
公式：最小多项式 $m(\lambda) = \lambda(\lambda-1)$
提示：最小多项式无重根是可对角化的充要条件。
步骤 4/5
目标：计算秩
由对角化形式知，$A$ 的秩等于对角矩阵中非零特征值的个数，即 $1$ 的个数 $r$。因此 $\operatorname{rank}(A) = r$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(P^{-1}AP)$
提示：相似变换不改变秩。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $\operatorname{tr}(A) = r$ 和 $\operatorname{rank}(A) = r$，得 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{tr}(A)$。
提示：注意 $r$ 是特征值 $1$ 的代数重数，也是几何重数（因为可对角化）。
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