大连理工大学 2026年高等代数第0题

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\beta$ 是 $m$ 维列向量。要证明：$AX = \beta$ 有解当且仅当 $\begin{pmatrix} A^{\mathrm{T}} \\ \beta^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 无解。

假设 $AX = \beta$ 有解，则存在 $x_0$ 使得 $A x_0 = \beta$。反设 $\begin{pmatrix} A^{\mathrm{T}} \\ \beta^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 有解，即存在向量 $y$ 满足 $A^{\mathrm{T}} y = 0$ 且 $\beta^{\mathrm{T}} y = 1$。计算 $\beta^{\mathrm{T}} y = (A x_0)^{\mathrm{T}} y = x_0^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} y = x_0^{\mathrm{T}} \cdot 0 = 0$，与 $\beta^{\mathrm{T}} y = 1$ 矛盾。因此后一方程组无解。

假设 $\begin{pmatrix} A^{\mathrm{T}} \\ \beta^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 无解。这意味着不存在 $y$ 同时满足 $A^{\mathrm{T}} y = 0$ 和 $\beta^{\mathrm{T}} y = 1$。等价地，对于任何满足 $A^{\mathrm{T}} y = 0$ 的 $y$，必有 $\beta^{\mathrm{T}} y = 0$。因此 $\beta$ 与 $A$ 的列空间正交补中的任意向量正交，从而 $\beta$ 属于 $A$ 的列空间，即 $AX = \beta$ 有解。

考虑线性方程组 $A^{\mathrm{T}} y = 0$ 的解空间 $W$。若 $\beta$ 不在 $A$ 的列空间中，则存在 $y \in W$ 使得 $\beta^{\mathrm{T}} y \neq 0$（因为列空间的正交补等于 $W$）。适当缩放 $y$ 可得 $\beta^{\mathrm{T}} y = 1$，从而 $\begin{pmatrix} A^{\mathrm{T}} \\ \beta^{\mathrm{T}} \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 有解。因此，若该方程组无解，则 $\beta$ 必在 $A$ 的列空间中，即 $AX = \beta$ 有解。

由必要性（$AX=\beta$ 有解 $\Rightarrow$ 后一方程组无解）和充分性（后一方程组无解 $\Rightarrow$ $AX=\beta$ 有解），原命题得证。