大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\min \{i, j\}, 1 \leq i, j \leq n$ ．
（1）计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式．
（2）证明：$A$ 正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵A的具体形式
根据定义，$a_{ij}=\min\{i,j\}$，所以矩阵$A$的第$i$行第$j$列元素为$\min\{i,j\}$。例如，当$n=4$时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$。一般地，$A$的$k$阶顺序主子式对应的矩阵$A_k$为$k\times k$矩阵，其$(i,j)$元也是$\min\{i,j\}$。
提示：注意顺序主子式是前k行前k列的子式，不要混淆
步骤 2/6
目标：计算k=1时的顺序主子式
当$k=1$时，$A_1=[1]$，行列式$\det(A_1)=1$。
提示：直接计算即可
步骤 3/6
目标：对k≥2的矩阵进行行变换
对于$k\geq 2$，考虑$A_k$。从最后一行开始，依次将第$i$行减去第$i-1$行（$i=k,k-1,\ldots,2$）。具体地，第$i$行减去第$i-1$行后，第$i$行变为：前$i-1$个元素为$0$，第$i$到第$k$个元素为$1$。因为原第$i$行前$i-1$个元素与第$i-1$行相同（均为$\min\{i-1,j\}$），相减得$0$；第$i$个元素为$i$，第$i-1$行第$i$个元素为$i-1$，相减得$1$；第$i+1$到第$k$个元素，原第$i$行为$i$，第$i-1$行为$i-1$，相减得$1$。
提示：注意行变换的顺序：从下往上减，避免破坏已变换的行
步骤 4/6
目标：得到上三角矩阵
经过上述行变换后，矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.
$$
这是一个上三角矩阵，对角线元素全为$1$。
提示：确保变换后矩阵形状正确，对角线元素均为1
步骤 5/6
目标：计算行列式
上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，即$1\times1\times\cdots\times1=1$。因此，$\det(A_k)=1$。所以$A$的所有$k$阶顺序主子式均为$1$。
公式：上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积
提示：行变换不改变行列式的值，但注意这里用的是行减法，行列式不变
步骤 6/6
目标：证明A正定
对于实对称矩阵，正定的充要条件是所有顺序主子式大于0。由（1）知，$A$的所有顺序主子式均为$1>0$，且$A$显然是对称的（因为$\min\{i,j\}=\min\{j,i\}$），所以$A$正定。
公式：实对称矩阵正定当且仅当所有顺序主子式大于0
提示：注意检查对称性，这是正定的前提
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