大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathscr{A}$ 存在 $n$ 个不同的特征值，证明： $\mathscr{A}$ 有且仅有 $2^{n}$ 个不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征向量基
设 $\mathscr{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，对应的特征向量为 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$。由于不同特征值对应的特征向量线性无关，故 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 构成 $V$ 的一组基。
提示：注意特征值互异保证特征向量线性无关，从而构成基。
步骤 2/6
目标：分析不变子空间中向量的坐标表示
设 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的任意不变子空间。取 $0\neq w\in W$，则 $w$ 可唯一表示为 $w=\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i$。由于 $\mathscr{A}\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$，对任意正整数 $m$，有 $\mathscr{A}^m w=\sum_{i=1}^n k_i\lambda_i^m\alpha_i$。
公式：$\mathscr{A}^m w=\sum_{i=1}^n k_i\lambda_i^m\alpha_i$
提示：注意 $\mathscr{A}$ 在特征向量基下是对角矩阵。
步骤 3/6
目标：利用Vandermonde矩阵证明存在非零向量其坐标有零分量
考虑向量组 $w,\mathscr{A}w,\dots,\mathscr{A}^{n-1}w$，它们在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的坐标矩阵为 Vandermonde 矩阵 $\begin{pmatrix}1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \lambda_n & \cdots & \lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}$ 乘以对角矩阵 $\operatorname{diag}(k_1,\dots,k_n)$。由于特征值互异，Vandermonde 矩阵可逆，故该向量组线性无关当且仅当所有 $k_i\neq0$。但 $W$ 是有限维的，因此存在非零 $w\in W$ 使得某些 $k_i=0$。
公式：Vandermonde 矩阵行列式 $\prod_{i
提示：注意 $W$ 的维数有限，不能包含无限个线性无关向量。
步骤 4/6
目标：证明不变子空间由特征向量生成
设 $w=\sum_{i\in I}k_i\alpha_i$，其中 $I\subseteq\{1,\dots,n\}$ 非空，且 $k_i\neq0$ 对 $i\in I$。考虑算子 $\prod_{j\in I, j\neq i}(\mathscr{A}-\lambda_j I)$。由于特征值互异，该算子将 $\alpha_i$ 映射为 $\prod_{j\neq i}(\lambda_i-\lambda_j)\alpha_i$（非零），而将其他 $\alpha_j$（$j\neq i$）映射为零。因此，$\prod_{j\neq i}(\mathscr{A}-\lambda_j I)w = k_i\prod_{j\neq i}(\lambda_i-\lambda_j)\alpha_i \in W$，从而 $\alpha_i\in W$。故 $W$ 包含所有 $\alpha_i$（$i\in I$），即 $W$ 由这些特征向量张成。
公式：$\prod_{j\neq i}(\mathscr{A}-\lambda_j I)\alpha_i = \prod_{j\neq i}(\lambda_i-\lambda_j)\alpha_i$
提示：注意算子 $\mathscr{A}-\lambda_j I$ 作用在特征向量上的效果，以及互异特征值保证系数非零。
步骤 5/6
目标：建立不变子空间与子集的一一对应
由上述推导，任意不变子空间 $W$ 必由某组特征向量张成，即存在子集 $S\subseteq\{1,\dots,n\}$ 使得 $W=\operatorname{span}\{\alpha_i\mid i\in S\}$。反之，任意这样的子空间显然是不变子空间（因为特征向量在 $\mathscr{A}$ 下仍为自身倍数）。不同子集张成的子空间不同（因为特征向量线性无关），且子集个数为 $2^n$（包括空集对应零子空间，全集对应 $V$）。
提示：注意零子空间和全空间也是不变子空间，对应空集和全集。
步骤 6/6
目标：结论
因此，$\mathscr{A}$ 有且仅有 $2^n$ 个不变子空间。
提示：确保计数包括零子空间和全空间。
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