大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．若矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & & & \\
& 2 & 2 & & \\
& & 3 & \ddots & \\
& & & \ddots & n-1 \\
& & & & n
\end{array}\right)
$$
的若尔当标准形 $J$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察矩阵结构
矩阵 $A$ 是一个上三角矩阵，其对角线元素为 $1,2,\ldots,n$，次对角线元素为 $1,2,\ldots,n-1$，其余元素为 $0$。
提示：注意矩阵是上三角，特征值即对角线元素。
步骤 2/6
目标：求特征值
由于 $A$ 是上三角矩阵，其特征值就是对角线元素，即 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \ldots, \lambda_n=n$。
公式：det(A-\lambda I)=0
提示：上三角矩阵的特征多项式直接由对角线元素乘积得到。
步骤 3/6
目标：判断特征值是否互异
特征值 $1,2,\ldots,n$ 互不相同，因此每个特征值的代数重数均为 $1$。
提示：互异特征值意味着每个特征值的代数重数为1。
步骤 4/6
目标：计算几何重数
对于每个特征值 $\lambda_i$，考虑矩阵 $A-\lambda_i I$。由于特征值互异，$A-\lambda_i I$ 的秩为 $n-1$，因此零空间维数为 $1$，即几何重数为 $1$。
公式：\dim\ker(A-\lambda_i I) = n - \operatorname{rank}(A-\lambda_i I)
提示：几何重数等于代数重数时，特征值对应1阶若尔当块。
步骤 5/6
目标：确定若尔当块结构
每个特征值的代数重数和几何重数均为 $1$，因此每个特征值对应一个 $1\times 1$ 的若尔当块，即 $J_i = (\lambda_i)$。
提示：若尔当块的大小等于代数重数，当几何重数等于代数重数时，块为对角块。
步骤 6/6
目标：写出若尔当标准形
将所有若尔当块按特征值顺序排列，得到若尔当标准形 $J$ 为对角矩阵：
$$J = \operatorname{diag}(1,2,\ldots,n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & n \end{pmatrix}.$$
提示：注意若尔当标准形中块的顺序可以任意，但通常按特征值大小排列。
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