大连理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\operatorname{Hom}(V)$ 表示 $V$ 上所有线性变换构成的线性空间．任取 $\mathscr{A} \in \operatorname{Hom}(V)$ ．
（1）令 $C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in \operatorname{Hom}(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$C(\mathscr{A})$ 是 $\operatorname{Hom}(V)$ 的子空间．
（2）设 $\mathscr{A}$ 在 $P$ 中有 $n$ 个不同的特征值，求 $C(\mathscr{A})$ 的维数和一组基．
（3）写出 $\operatorname{Hom}(V)$ 上的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\operatorname{Ker} \sigma=C(\mathscr{A})$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明C(𝒜)是子空间
首先，零变换𝒪满足𝒜𝒪=𝒪=𝒪𝒜，所以𝒪∈C(𝒜)。其次，若ℬ₁,ℬ₂∈C(𝒜)，则𝒜(ℬ₁+ℬ₂)=𝒜ℬ₁+𝒜ℬ₂=ℬ₁𝒜+ℬ₂𝒜=(ℬ₁+ℬ₂)𝒜，故ℬ₁+ℬ₂∈C(𝒜)。最后，若ℬ∈C(𝒜)，k∈P，则𝒜(kℬ)=k(𝒜ℬ)=k(ℬ𝒜)=(kℬ)𝒜，故kℬ∈C(𝒜)。因此C(𝒜)是Hom(V)的子空间。
提示：注意验证子空间的三条：零元、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/5
目标：分析𝒜可对角化条件
由于𝒜在P中有n个不同的特征值λ₁,…,λₙ，故𝒜可对角化。存在一组基ε₁,…,εₙ，使得𝒜在该基下的矩阵为对角矩阵diag(λ₁,…,λₙ)。
提示：不同特征值保证可对角化，但需注意特征值在P中。
步骤 3/5
目标：推导ℬ与𝒜可交换的条件
设ℬ在该基下的矩阵为B=(bᵢⱼ)。条件𝒜ℬ=ℬ𝒜等价于diag(λᵢ)B = B diag(λᵢ)，即对任意i,j，有λᵢbᵢⱼ = bᵢⱼλⱼ，即(λᵢ-λⱼ)bᵢⱼ=0。由于i≠j时λᵢ≠λⱼ，故bᵢⱼ=0（i≠j）。因此B是对角矩阵。
公式：(λᵢ-λⱼ)bᵢⱼ=0
提示：注意区分i=j和i≠j的情况，i=j时λᵢ-λᵢ=0，bᵢᵢ任意。
步骤 4/5
目标：确定C(𝒜)的维数和基
C(𝒜)由所有对角矩阵对应的线性变换组成。对角矩阵有n个自由对角元，故维数为n。一组基为ℰᵢᵢ（i=1,…,n），其中ℰᵢᵢ在基ε₁,…,εₙ下满足ℰᵢᵢ(εⱼ)=δᵢⱼεⱼ（即第i个对角元为1，其余为0的矩阵对应的变换）。
提示：基的选取依赖于𝒜的特征基，需明确基的表示。
步骤 5/5
目标：构造线性变换σ使得Kerσ=C(𝒜)
定义σ: Hom(V)→Hom(V)为σ(ℬ)=𝒜ℬ-ℬ𝒜。σ是线性变换，因为σ(ℬ₁+ℬ₂)=𝒜(ℬ₁+ℬ₂)-(ℬ₁+ℬ₂)𝒜=(𝒜ℬ₁-ℬ₁𝒜)+(𝒜ℬ₂-ℬ₂𝒜)=σ(ℬ₁)+σ(ℬ₂)，且σ(kℬ)=𝒜(kℬ)-(kℬ)𝒜=k(𝒜ℬ-ℬ𝒜)=kσ(ℬ)。显然，ℬ∈Kerσ当且仅当𝒜ℬ=ℬ𝒜，即ℬ∈C(𝒜)。故Kerσ=C(𝒜)。
公式：σ(ℬ)=𝒜ℬ-ℬ𝒜
提示：验证线性性时注意𝒜固定，σ关于ℬ是线性的。
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