太原理工大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．计算行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
\lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{n} \\
-1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{n-1} \\
0 & -1 & \cdots & 0 & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda+a_{1}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定行列式符号并展开
设原行列式为 $D_n$。按第一行展开，第一行元素为 $\lambda, 0, \dots, 0, a_n$。
公式：行列式按行展开公式
提示：注意第一行只有两个非零元素：$\lambda$ 和 $a_n$，其余为零。
步骤 2/7
目标：计算第一项展开
第一项：$\lambda$ 乘以它的代数余子式。余子式是去掉第一行第一列后的 $(n-1)$ 阶行列式，恰好是 $D_{n-1}$ 的形式（但 $a$ 的下标减1）。因此第一项为 $\lambda D_{n-1}$。
提示：注意余子式的符号：$(-1)^{1+1}=1$，所以直接是 $\lambda$ 乘余子式。
步骤 3/7
目标：计算第二项展开
第二项：$a_n$ 乘以它的代数余子式。$a_n$ 位于第1行第 $n$ 列，代数余子式为 $(-1)^{1+n} M_{1n}$。余子式 $M_{1n}$ 是去掉第一行第 $n$ 列后的 $(n-1)$ 阶行列式，该行列式为下三角矩阵，主对角线元素均为 $-1$，因此值为 $(-1)^{n-1}$。所以第二项为 $(-1)^{1+n} a_n \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{2n} a_n = a_n$。
公式：$(-1)^{2n}=1$
提示：注意符号计算：$(-1)^{1+n} \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{2n}$，由于 $2n$ 为偶数，结果为 $1$。
步骤 4/7
目标：建立递推关系
由展开得到递推关系：$D_n = \lambda D_{n-1} + a_n$。
公式：$D_n = \lambda D_{n-1} + a_n$
提示：递推关系是本题的核心，注意 $D_{n-1}$ 的定义与 $D_n$ 类似，只是 $a$ 的下标从 $a_{n-1}$ 开始。
步骤 5/7
目标：确定初始条件
当 $n=1$ 时，行列式为 $|\lambda + a_1|$，所以 $D_1 = \lambda + a_1$。
提示：注意 $n=1$ 时，原行列式只有一行一列，元素为 $\lambda + a_1$。
步骤 6/7
目标：递推求解通项公式
利用递推关系反复代入：
$D_n = \lambda D_{n-1} + a_n$
$= \lambda(\lambda D_{n-2} + a_{n-1}) + a_n = \lambda^2 D_{n-2} + \lambda a_{n-1} + a_n$
$= \cdots$
$= \lambda^{n-1} D_1 + \lambda^{n-2} a_2 + \cdots + \lambda a_{n-1} + a_n$
代入 $D_1 = \lambda + a_1$，得
$D_n = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2} + \cdots + a_{n-1} \lambda + a_n$。
提示：注意递推时下标对应关系：$D_k$ 中的 $a$ 下标从 $a_1$ 到 $a_k$。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，原行列式的值为 $\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2} + \cdots + a_{n-1} \lambda + a_n$。
提示：最终结果是一个关于 $\lambda$ 的多项式，系数为 $a_1, a_2, \dots, a_n$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。