📝 太原理工大学 2026年高等代数真题

1．计算行列式

$$
\left|\begin{array}{ccccc}
\lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{n} \\
-1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{n-1} \\
0 & -1 & \cdots & 0 & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda+a_{1}
\end{array}\right| .
$$

2．证明：次数大于 0 且首项系数为 1 的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是不可约多项式的充分必要条件是对任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

3．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）判断 $A$ 的特征多项式是否有有理根，并说明在有理数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 是对角矩阵。
（2）判断 $A$ 的特征多项式在复数域上有无重根，并说明在复数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$是对角矩阵。

4．已知齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-x_{5}=0 \\
-3 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5}=0 \\
2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}-2 x_{5}=0
\end{array}\right.
$$

向量组

$$
\alpha_{1}=(4,1,1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(8,2,4,3,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(4,7,5,3,0)^{\mathrm{T}} .
$$

（1）求该方程组的一个基础解系．
（2）判断该方程组的解是否都可以由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．
（3）求该方程组的一个基础解系使得其尽可能多的含 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．

5．设实二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}=X^{\mathrm{T}} A X
$$

其中 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A$ ．若 $f$ 经过正交线性替换 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+4 y_{2}^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及 $P$ ．
（2）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 上的最大值，最小值．
（3）$\displaystyle B=x A^{2}+y A+E$ ，若 $B$ 正定，求 $\displaystyle x, y$ 满足的条件．

6．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，记 $\displaystyle C(A)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid A B=B A\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 的子空间．
（2）若 $A$ 为单位矩阵，求 $\displaystyle C(A)$ ．
（3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．
（4）若将（3）中 $\displaystyle C(A)$ 看作 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．

7．设向量组

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \varepsilon _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 ) , } \\
{ \varepsilon _ { 2 } = ( - 2 , 1 , 0 ) , } \\
{ \varepsilon _ { 3 } = ( 0 , 0 , 1 ) }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\eta_{1}=(1,2,-3) \\
\eta_{2}=(2,2,-1) \\
\eta_{3}=(2,-1,-1)
\end{array}\right.\right.
$$

设线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 满足 $\displaystyle \mathscr{T} \varepsilon_{i}=\eta_{i}, i=1,2,3$ 。
（1）求 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 到 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 的过渡矩阵。
（2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（3）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的矩阵。
（4）是否存在非零 $\displaystyle \xi \in \mathbb{R}^{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T} \xi=\xi$ ？

8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明：
（1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。
（2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。
（3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。