太原理工大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．证明：次数大于 0 且首项系数为 1 的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是不可约多项式的充分必要条件是对任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和结论
设 $f(x)$ 是次数 $\deg f > 0$ 且首项系数为1的多项式。要证明 $f(x)$ 不可约当且仅当：对任意多项式 $g(x)$，要么 $(f(x), g(x))=1$，要么存在正整数 $m$ 使得 $f(x) \mid g^m(x)$。
提示：注意 $f(x)$ 是首一多项式，因此最大公因式也取首一形式。
步骤 2/5
目标：必要性证明：假设 $f$ 不可约，推导条件成立
设 $f$ 不可约。对任意 $g(x)$，令 $d(x) = (f(x), g(x))$。由于 $f$ 不可约，$d(x)$ 只能是1或 $f(x)$（相差常数倍，但首一性保证相等）。
- 若 $d(x)=1$，则 $(f,g)=1$，条件成立。
- 若 $d(x)=f(x)$，则 $f(x) \mid g(x)$，从而对任意 $m \ge 1$，$f(x) \mid g^m(x)$，条件也成立。
公式：$d(x) = (f(x), g(x))$
提示：不可约多项式的因式只有常数和自身（相差常数倍），由于首一性，公因式只能是1或 $f$。
步骤 3/5
目标：充分性证明：假设条件成立，证明 $f$ 不可约（反证法）
假设 $f$ 可约，则存在次数大于0且小于 $\deg f$ 的多项式 $h(x)$ 使得 $h(x) \mid f(x)$。取 $g(x)=h(x)$。
- 由于 $h$ 是 $f$ 的真因子，$(f,g) \neq 1$。
- 对任意正整数 $m$，$f \nmid h^m$，因为 $\deg h^m = m\deg h < \deg f$（当 $m=1$ 时），且当 $m>1$ 时，$h^m$ 的不可约因子只有 $h$ 的因子，而 $f$ 含有其他不可约因子（因为 $f$ 可约，有多个不可约因子），故 $f$ 不能整除 $h^m$。这与条件矛盾。因此 $f$ 不可约。
公式：$\deg h^m = m\deg h$
提示：反证法假设 $f$ 可约时，要取一个真因子 $h$，并验证条件中的两种情况都不成立。注意整除关系与次数的关系。
步骤 4/5
目标：总结充分性证明中的关键矛盾
由反证法假设，存在 $g=h$ 使得 $(f,g) \neq 1$ 且对任意 $m$，$f \nmid g^m$，这与题目条件矛盾。故 $f$ 不可约。
提示：确保 $g$ 的选取使得条件中的两种情形均不成立。
步骤 5/5
目标：综合结论
必要性：若 $f$ 不可约，则条件成立。充分性：若条件成立，则 $f$ 不可约。因此命题得证。
提示：注意充分性证明中，反证法的假设是 $f$ 可约，需要构造出矛盾。
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