太原理工大学 2026年高等代数第3题

计算矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$。 $$\lambda I-A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & -1 & \lambda \end{pmatrix}$$ 按第一行展开： $$\det(\lambda I-A) = \lambda \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & \lambda \end{pmatrix} + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$= \lambda(\lambda^2-1) + 1 \cdot (0\cdot\lambda - (-1)(-2)) = \lambda^3 - \lambda - 2$$

特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^3-\lambda-2$ 的有理根只可能是 $\pm1,\pm2$。代入验证： - $f(1)=1-1-2=-2\neq0$ - $f(-1)=-1+1-2=-2\neq0$ - $f(2)=8-2-2=4\neq0$ - $f(-2)=-8+2-2=-8\neq0$ 因此 $f(\lambda)$ 没有有理根。

由于 $f(\lambda)$ 是三次多项式且无有理根，故在有理数域上不可约，特征值都不是有理数。若 $A$ 在有理数域上可对角化，则特征值必须属于有理数域，矛盾。因此不存在有理数域上的可逆矩阵 $T$ 使得 $T^{-1}AT$ 为对角矩阵。

计算 $f(\lambda)=\lambda^3-\lambda-2$ 的导数 $f'(\lambda)=3\lambda^2-1$。用辗转相除法求最大公因式： 第一步：$f(\lambda) \div f'(\lambda)$ $$\lambda^3-\lambda-2 = \frac{\lambda}{3}(3\lambda^2-1) + \left(-\frac{2}{3}\lambda-2\right)$$ 余式 $r_1(\lambda) = -\frac{2}{3}\lambda-2 = -\frac{2}{3}(\lambda+3)$。 第二步：$f'(\lambda) \div r_1(\lambda)$ $$3\lambda^2-1 = \left(-\frac{9}{2}\lambda+\frac{27}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{3}(\lambda+3)\right) + 26$$ 余式 $r_2(\lambda)=26$，为非零常数。因此最大公因式为常数，$f(\lambda)$ 无重根。

特征多项式 $f(\lambda)$ 在复数域上无重根，且复数域是代数闭域，故 $A$ 有3个不同的特征值。每个特征值的几何重数等于代数重数（均为1），因此 $A$ 在复数域上可对角化。即存在可逆矩阵 $T$（复数域上）使得 $T^{-1}AT$ 为对角矩阵。